Формальные логические системы и их интерпретация

Содержание

  1. Формальные логические системы и их интерпретация
Формальная аксиоматическая система
это абстракция от конкретной содержательной теории какой-либо науки.

Чаще всего, логики или математики. Любая такая система состоит из трех частей:

  1. Должны быть указаны основные объекты или атомы этой системы. Те опреации, с помощью которых конструируются другие объекты из исходных. Здесь указывается, что представляют собой операции.
  2. Указывается, как образуются элементарные и неэлементарные предложения системы, правила образования сложных высказываний из элементарных.

Первые две части составляют морфологию системы. Она подобна морфологии естественного языка, где изучаются правила образования и изменения слов. Над морфологией настраивается теоретическая часть формальной системы. Она состоит из аксиом и правил вывода. Аксиомы -- это исходные утверждения, истины которых считаются установленной внелогическим путем. Иногда аксиомы -- это гипотезы. Но и они принимаются без доказательства. Все доказуемые утверждения называются теоремами. Правила вывода указывают, какие теоремы могут быть получены из аксиом. Как правило, аксиом конечное число, и чем меньше -- тем лучше.

Генетический метод ("конструктивный"). Полагают некоторые объекты и допустимые действия над ними. Остальные объекты получают конструктивным путем с помощью определения. Такие определения перечислют и характеризуют исходные объекты. Устанавливается процедура образования новых методов. Все другие объекты образуются путем повторения процедуры. Никаких других элементов в системе не должно быть. Такое определение называют индуктивным, также конструктивным. Существуют только те объекты, которые могут быть построены указанным путем. Здесь работает абстракция потенциальной осуществимости -- сколько бы шагов мы ни прошли, всегда можно сделать следующий шаг. Примером индуктивного определения является аксиоматика натуральных чисел. Во-первых, ноль -- это натуральное число. Во-вторых, если a -- натуральное число, то и следующее за ним -- тоже натуральное число. В-третьих, никаких других натуральных чисел, кроме тех, которые вводятся в 2-х первых пунктах не должно быть. С помощью операции следования, можно получить любое натуральное число. По словам Рассела, все натуральные числа -- это потомки нуля. Индуктивное определение относится и к морфологии формальной системы. В теоретической части, обычно устанавливается общая идея доказательства. Доказательство можно представить в виде конечной последовательности элементарных утверждений. Каждый шаг этой последовательности либо аксиома, либо формула, непосредственно полученная из других формул. Последняя по порядку формула -- это и есть теорема, которую мы доказываем. Аксиоматика ... была построена в конце 19-го века. Интерес к натуральным числам объяснялся тем, что другие системы чисел (рациональные, иррациональные и комплексные удается свести к натуральным числам). Кроме того, т.н. "аналитическая геометрия" может быть сведена к изучению конечных или бесконечных множеств целых чисел. Наибольшую известность получила аксиоматика итальянского математика Пеано. В его аксиоматике используются 3 исходных понятия: 0, число, следующее. Формируются 5 аксиом:

С помощью исходных понятий и аксиом можно определить любое натуральное число. Согласно аксиоме 2 каждое натуральное число имеет последующее. Однако оказалось, что система аксиом Пеана допускает многозначные интерпретации. Ничто не мешает нам в качестве нуля положить единицу. В качестве чисел бесконечный ряд, получаемый с помощью операций дихотомии (1/2, 1/4, etc). При такой интепретации все аксиомы Пеана выполнены. Это поняли Фреге и Рассел. Решили дать логическое определение числа, чтобы устранить многозначность интерпретации. В основе логического определения числа лежит понятие взаимно-однозначного соответствия. Оно также называется "изоморфизмом". Изоморфизм устанавливает отношения между элементами 2-х множеств. Кажому элементу одного множества ставится в соответствии один и только один элемент второго множества. Выполняется и обратное: каждому элементу второго множества соответствует единственный элемент первого. Здесь вводится понятие количественного или координального числа. Оно определяет свойства, присущие всем изоморфным множествам. Например, все множества, эквивалентные множеству количеству пальцев руки обладают общим свойством быть "в числе пяти". Значит, с логической точки зрения, число -- это некоторое общее свойство эквивалентных классов. С помощью законов логики, Фреге надеялся обосновать не только арифметику, но и всю математику. С одной стороны, эта попытка была направлена против априоризма Канта, с другой -- против психологизма в математике. Программа Фреге потерпела неудачу, в связи с употреблением понятия "множество всех множеств". Все остальные аксиоматики постарались избежать употребления этого термина. Это поставило проблему соотношения логики и математики. Когда математики говорят о логике, они употребляют это слово в 3-х значениях:

Рассел и его ученики хотели достичь окончательного обоснования математики. Но этого сделать не удалось. Существуют предпосылки, которые нельзя обосновать в самой теории. Если попытаться их обосновать, то возникнет регресс в бесконечность. Однако уже Анаксимандр предостерегал против этого. При обосновании математику некоторые принципы следует принимать на веру или интуитивно. Число таких предпосылок можно и нужно свести к минимуму. Но нельзя избежать их полностью. Однако строгий логический анализ математических понятий нужен. Он стимулирует развитие математической логики, а также оснований математики. Исследования по основаниям математики позволяют оптимизировать достигнутое математическое знание. Здесь мы выясняем, что из чего выводится, насколько противоречивы или нет математические теории, а также, какие в математике существуют проблемные зоны. Взаимосвязь логики, математики и онтологии можно показать на примере работ представителя варшавской школы логики Станислава Лесневского. В своих ранних работах Лесневский занимался суждениями существования. Лесневский ввел доказательство невозможности т.н. общего объекта. Общий объект обладает теми и только теми свойствами, которые являются общими для всех конкретных объектов, соответствующих ему. Допустим, что есть свойство, общее для некоторых, но не для всех из обсуждаемых конкретных объектов. Обычно такое свойство обозначают буквой A (заглавной). По определению, соответствующий общий объект не может обладать этим свойством. Но в силу логических соображений он не может обладать также свойством, которое записывается: "не обладать A". Это потому, что некоторые из конкретных объектов обладают этим свойством. Это делает общий объект противоречивым, т.е. не существующим. Это доказательство опирается на общий принцип: для каждого свойства верно, что любой объект либо обладает, либо не обладает им. Этот принцип Лесневский назвал "онтологическийй принцип исключенного третьего". Он отличается от логического принципа. Тот, в свою очередь, гласит: "из двух противоречащих друг другу суждений, по крайней мере одно должно быть истинным". Различение между онтологическим и логическим -- это стремление к высокой точности рассуждений. Аргумент Лесевского против общих объектов справедлив только в том случае, если считать их подобными конкретным объектам. Однако абстрактый объект, универсалия или класс, должен быть чем-то совершенно иным, должен обладать свойствами, которые нельзя приписать ни одному из индивидов. С системной точки зрения, он обладает неожиданными, эмерджентными свойствами. С метафизической точки зрения он является абстрактным, вневременным, представленным в определенном количестве индивидов. Общие свойства индивидов подпадающих под него принадлежат абстрактному объекту не как свойства, а как признаки. Характерные признаки указывают, какого рода индивиды под него подпадают.

В связи с проблемой общих объектов существует возражение против платоновского учения об идеях под названием "третий человек". Оно рассмотрено самим Платоном в диалоге Парменид. Допустим, идея человека вводится для объяснения сходства между конкретными людьми. Допустим также, что сама эта идея похожа на отдельного человека. Тогда с точки зрения строгой логики, нужна еще одна идея, более выского порядка чтобы установить связь между конкретным человеком и первой идеей человека. Это и есть третий человек, но он ведет к регрессу в бесконечность. Однако идея красного сама по себе не является красной. Класс красной вещей сам по себе не является красной вещью.

Ошибочно думать об идее как о конкретной вещи с такими же свойствами как изображаемый. Различия между свойствами и характерными принципами в логике проводил Фреге. В дальнейшем, Р. Ингарден показал, что универсальность конкретного объекта можно объяснить только тем, что его характерные признаки включают константы и переменные. Частью идеи человека является то, что он имеет некоторые размеры и цвет волос. С другой стороны, в универсальной идее человека не определяется точно какие у него волосы и какого он роста. Если идея рассматривается как ... объект, то она должна иметь замкнутую структуру. Свойства идей не остаются неопределенными. Принцип "третьего не дано" справедлив для свойств абстрактных объектов, но не для их характерных признаков. Это не приводит ни к каким парадоксам. Значит аргумент Лесневского против общих объектов не имеет силы если есть свойство различать характерные свойства и признаки. Однако сохраняется, все же, метафизический вопрос, существуют ли на самом деле объекты двойной онтологической структуры. Сам Лесневский склонялся к номинализму. Он создал логическое учение об отношении части и целого. Это учение получило специальное название "мериология", от греческого "мерос", часть. Мериология ввела понятия коллективной целостности, что значительно расширило понятие объекта. В дальнейшем Куайн назвал такие целостности "конкретной кучи". Компоненты такой кучи не обязательно должны быть собраны вместе. Все существующие кошки находятся в разных местах, но образуют одну такую кучу. В этом смысле считаются одним объектом.

Мериология применима также к нематериальным объектам. С теологической точки зрения, можно было бы сказать о мериологической целостности всех ангелов. От обычного исчисления классов теорию Лесневского отличают несколько особенностей. Например, шар, класс его половинок, класс четвертей традиционно рассматривались как три разных сущности. С точки зрения Лесневского, шар тождественнен классу половинок и классу четвертей. Единственное, стоит допустить, что пустого класса не существует. Мериология -- это ...логия конкретных совокупностей. Она имеет сходства с теорией событий Уайтхеда. Он говорил, что одно событие может быть частью другого и 2 события могут пересекаться. Однако сам Лесневский создавал чисто логическую теорию. Она не имеет онтологических импликаций. С ее помощью нельзя ни доказать, ни опровергнуть чье-либо существование.

Современный интерес к мериологии объясняется номиналистической тенденцией в философии. Мериология -- это теория множеств в собирательном смысле. Однако эта теория множеств отличается от т.н. "нормальной" теории множеств. В нормальной теории множеств, когда говорят, что элемент принадлежит данному множеству, то имеют в виду, что он обладает некоторым свойством, характерным для данного множества. В мериологическом смысле, множество -- это коллектив или агрегат, физический объект, состоящий из частей. Для нормальной теории множеств выполняется т.н. "дистрибутивность". Если X является элементом множества X, а само это множество является множеством семейства множества Y, то элемент X не является элементом Y. В мериологическом смысле, транзитивность отношения "быть элементом" выполняется. По мнению Лесневского, мериологическое понятие множества ближе к интуиции чем Канторовское понятие множества. В целом, м-я -- это номиналистическая теория множеств. Лесневский пришел к выводу, что то же самое можно выразить и по-другому. Он разработал еще одну теорию. Он разработал еще одну теорию, которую назвал "онтологией". Это теория связки "есть". Логическая онтология отличается от философской онтологии, хотя между ними есть и связь. Сам Лесневский полагал, что он реализует замысел аристотелевской первой философии. А первая философия -- это предельно общая теория объекта. Понимание логической константы "есть" имеет фундаментальное значение. Лесневский использовал для ее обозначения греческую букву "эпсилон". "Эпсилон" -- est, русское "есть". Основное употребление связки "есть" осущствляется в высказывании "Сократ есть человек". Но это употребление отличается от использования связки есть в выражении "Есть справедливость". Следует также отличать основное онтологическое "есть" от употребления этого слова в выражении "каждый человек есть смертен". В последнем случе используется "функтор" ("каждый есть"). Однако Лесневский не считал возможноым интерпретировать высказывание о Сократе в смысле его принадлежности к множествам, ибо он был номиналистом. Значит просто существует Сократ, много людей и имя "человек". Стало быть, общее высказывание "А есть Б" с точки зрения номинализма интерпретируется как высказывание "А является одним из Б". Лесневский, как ему казалось, доказал противоречивость определения общего объекта. Это сделало его осторожным в отношении метафизических интерпретаций логики. Однако в дальнейшем это все-таки было сделано. Одним из учеников Лесневского был польский философ Тадеуш Катарбинский. Он создал на основе логической системы Лесневского некоторую онтологию, получившую название "реизм". (от лат. "re", вещь). Суть реизма сводится к 3-м тезиам:

Катарбинский не отвергал субъектно-предикатных предложений обыденного языка: "снег существует", "существует белый снего", "снег бел". Главное -- избежать наименования абстрактных сущностей, типа белизны снега. ...~3 минуты пропущено...

... это определение называется "семантическим". Оно ведет к фундаментальному различению подлинных и мнимых имен в логике. Мнимые имена -- ономатоиды. Обычные имена в логике делят на:

Минимые имена, как и пустые, не обозначают ничего реального. Однако они могут выступать в осмысленных высказываниях. Высказывания с мнимыми именами лишены смысла.

Катарбинский считал, что высказывание "квадратный круг есть круглый" является ложным но осмысленным. Эта позиция совпадает с позицией Алексиуса Мейнонга относительно невозможных объектов. sein, so sein (бытие, бытие в качестве). У такого высказывания нет sein, но есть so sein. Каждое высказывание с пустым именем в предикате является ложным. В рамках номиналистической логики высказывание "прямоугольность есть свойство квадратов" не истинно и не ложно. Оно бессмысленно. Ведь нет таких самостоятельных сущностей как свойство. Этого реизм не признает. Мнимые имена не могут использоваться в высказываниях о вещах и лицах, понимаемых как конкретные индивиды. Всякие слова, обозначающие конкретные сущности суть ономотоиды. Однако если удается развернуть высказывание с мнимыми именами так, что получается высказывание, содержащее подлинные имена, то мнимые имена можно использовать. Например, высказывание "прямоугольность есть свойство квадрата" может быть переформулировано в высказывание "всякий квадрат является прямоугольником" только в этом случае и в этом смысле имя "прямоугольность" имеет осмысленное употребление. Высказывание "справедливость есть добро" также должно быть переформулировано путем редукции абстрактной сущности. Оно сводится к высказыванию "всякий справедливый поступок является хорошим", "всякий человек, поступающий справделиво поступает хорошо". Последнее высказывание уже вполне реистическое. Оно не нуждается ни в чем, кроме подстановки имен конкретных людей. Язык Катарбинского подобен языку логического позитивиста Карнапа. Служит цели защиты от бессмыслицы и от метафизики.

Чтобы отличить подлинные имена от мнимых, нужно добавить онтологический тезис: "существуют только конкретные индивиды". Это допущение нелогическое, но немотивированное. Это же свидетельствует о том, что онтология не сводима к логике. Реизм Катарбинского стремился дать определенный ответ о количестве онтологических категорий. Известно, что все категории Аристотеля делятся на 2 класса:

Катарбинский исходил из упрощенного перечня категорий В. Вундта. Это вещь, свойство, состояния и отношение. Катарбинский стремился осуществить редукцию всех категорий к категории вещи. Он выстроил и схему редукции. Любое высказывание, в котором говорится о чем-либо, что не является вещью, надо трактовать как выражение, замещающее другие выражения, понимаемые именно буквально и говорящие именно о вещах. Всякое имя, которое не является именем вещи следует считать мнимым именем, ведь никакой предмет не является событием. Высказать что-либо о событии, можно только по видимости истинное, т.е. иносказательно. Высказывание берется в замещающей, а не буквальной основной роли. Онтология Катарбинского называлась "реизм", учение о вещах. Он давал своей теории двоякое объяснение:

Как известно, Катарбинский был учеников Лесневского, но это не значит, что реизм является удовлетворительной расформализцией системы Лесневского. Нет ответа на вопрос, почему две вещи подводятся под одно общее имя. Чтобы ответить на этот вопрос, надо принять хотя бы еще одну онтологическую категорию, по крайней мере, категорию конкретного свойства.

Онтология Лесневского возникла из анализа и экспликации глагола-связки "есть". Теория Лесневского продолжала традиции схоластической логики. Она же анализировала фактически искусственный язык, ею же и созданный. Это схоластическая латынь. У современных логиков выше только уровень формализации. На интуитивном уровне ничто не препядствует признать систему, состоящую из одной онтологической категории полезной и правильной идеей. Никто не говорит, что мир состоит из одних вещей. Просто говорить о нем рекомендует на минималистическом языке.

Однако остается еще одна проблема -- интерпретация математики с точки зрения номинализма. Понятие множества оказывается здесь мнимым именем. Для конечных множеств удается заменить понятие множества понятием конретной совокупности. Однако для бесконечных множеств этого сделать не удается. С другой стороны, онтология реизма вполне согласуется со стандартной моделью физической реальности. Ничто не мешает выразить номиналистическим языком понятие энергии или поля. Хотя сомнительно, что таким языком можно выразить всю математику.

Категории/Лекция | Категории/ФПКД | Категории/4-2008

ФПКД/Темы/Формальные логические системы и их интерпретация (последним исправлял(а) Зотиков Дмитрий 2008-03-22 19:53:35)