Тезоры

Группа

это такое множество, на котором задается операция произведения.

Тензор

силы, объединенные при воздействии на объект.

Понятие тензора было введено известным французским математиком Эли Картаном. Тензор представляет из себя некий геометрический объект, который описывает замкнутую траекторию в неком геометрическом пространстве. При этом знак тензора никак не меняется.

Симметрия в физике определяется законом сохранения. СТО была первой физической теорией где группы сыграли важную роль. Специальная теория относительности базируется на принципе относительности Галиллея. Если 2 наблюдателя движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, то они наблюдают одинаковые законы механики. Скорости наблюдателей при этом складываются или вычитаются, если они параллельны, или складываются по правилу параллелограмма, если составляют угол. Преобразования в случае равномернодвижущихся наблюдателей составляют группу Галлилея. Эта группа определяет эквивалентность наблюдателей. Сам Галлилей ничего не знал о теории групп, хотя и сознавал эквивалентность законов механики для равномерно движущихся наблюдателей. Это уже терминология Эйнштейна. В ТО, задача усложняется. Ведь время для разных наблюдателей течет по-разному. Здесь понадобились преобразования Х. Лондрена.

Преобразования Лоренца действуют не только на пространство, но и на время. Они зависят также от отношении скорости двиужещгося наблюдателя к скорости света. Как известно, преобразование Лоренца включает радикал: 1-v^2/c2. Преобразования Лоренца теряют свой смысл, если это отношение становится равным единице. Теория относительност, таким образом, запрещает любому материальному телу достигать скорости света. Преобразования Лоренца вместе с преобразованиями Галлилея образуют особую группу Лоренца. Она более сложная, поскольку скорости в ней не складываются как в классической механике. Можно сколько угодно скорстей прибавлять к скорости света, результат один -- скорость света. Структура этой группы была установлена Пуанкаре. В дальнейшем, большую роль сыграли идеи Пьера Кюри об инвариантности законов физики относительно групп преобразований. Физический закон, соответствующий принципу относительности, называется "релятивистской инвариантностью". Преобразования Лоренца -- это, по сути, вращение четырехмерного пространства-времени.

В геометрии Минковского, в отсутствие гравитации имеется пространство-время, которое наделено мерой расстояния между точками. Если мировая линия описывает траеторию какой-то частицы, то расстояния вдоль этой линии и есть время жизни данной частицы. Необходимо показать, как сохраняющийся физический закон выражается в пространстве и времени благодаря геометрическим объектам, сохраняющимся при вращении. Вектор как раз является таким неделимым объектом -- он поворачивается только целиком. Благодаря векторам и удается ввести понятие тензора. В теории относительности почти все физические величины объединяются в тензоры пространства-времени. Полное математическое выражение для кривизны 4-х мерного пространства-времени дает тензор кривизны Римана. Кривизна пространства-времени может быть различной в различных направлениях. Поэтому тензор Римана в каждой точке зависит от 12 действительных чисел. Иногда для удобства этот геометрический объект разбивают на 2 объекта. Один называют тензором Вейля, другой -- тензором Ритчи. Тензор Вейля необходим для того, чтобы понять как меняется первоначальная форма движущегося объекта. Тензор Ритчи нужен, чтобы понять как меняется размер (объем). Теория относительности сводится к одному простому геометричскому свойству -- к сохранению физических величин, при вращении пространства-времени. Такой формальный путь позволяет написать сколько угодно уравнений. Однако большинство из них не имеет физического смысла. Есть 2 пути развития физической науки. Во-первых

• конструктивный путь, требует развитой теоретической интуиции. Теоретик изначально чувствует как правильно должно быть, затем подыскивает математические инструменты для проверки своей интуиции. В этом направлении в основном двигались Ньютон и Эйнштейн. Есть также
• формальный путь, когда пишутся уравнения и в некоторых из них удается обнаружить неожиданный физический смысл. В 20-м веке в этом направлении двигался британский физик Поль Дирак. По словам Дирака, нужно повозиться с уравнениями, чтобы выянить, что они могут дать. Для этого и необходима теория групп. Главное -- существовала и существует область физики, где эта теория стала господствующей. Это квантовая механика. Преобразования Лоренца можно заменить вращениями пространства-времени. Это потребовало использование аппарата теории комплексных чисел.

Пространство-время Минковского не является эвклидовым. В нем пространство и время используются с противоположными знаками. Получается, что квадрат гипотенузы есть разностью квадратов длин катетов. Это обстоятельство можно смягчить, введением чисто технического понятия мнимого времени. Для этого и нужны комплексные числа. Это и позволяет придать пространству Минковского вид 4-х мерного евклидового пространства. Это позволяет получить образ одной, более физичной группы на другой, более абстрактной, но с которой легче иметь дело. В этом случае говорят, что группы изоморфны. Если было бы много образов одной группы на другой группе, то возникло бы другое математическое понятие -- гомоморфизм. Но такие преобразования не встречаются в теории относительности, поскольку не имеют физического смысла. Компактное множество -- это непрерывное множество, которое ограничено включением в себя своей границы. Например, это отрезок с его крайними точками, или шар с его поверхностью. Евклидово простраство не является компактным, поскольку не ограничено. Из него можно вырезать компактные множества в виде различных геометрических тел. В этом случае говорят, что эвклидово пространство локально компактно. Возникает вопрос: что дает физике замена вращения твердых тел в пространстве, подобном нашему, вращениями векторов, определяемых с помощью комплексных чисел, в абстрактных пространствах. Ответ: решениями уравнений квантовой механики являются именно функции, а не объекты. Но с помощью таких функций описываются явления, происходящие в физическом пространстве.

Суть идей Картана состояла в том, что группа характеризуется сохранением чего-либо. Законы симметрии могут действовать только в тех физических системах, в которых уже установлены законы сохранения. Они действуют в неподвижном мире без прошлого и будущего, где время не течет. Процесс развития физической науки в 20-м веке можно резюмировать как 2 этапа:

1. Из экспериментов выводится некоторое уравнение поля, устанавливается, что в них сохраняется и возникает представление о типе симметрии. Этот этап до Эйнштейна и Минковского был реализован в классическом электро-магнетизме Максвелла.
2. Понимание типа симметрии и определяет тип уравнений, с которыми работает физик. Эйнштейн ввел новый принцип: взаимодействия предписываются симметрией. А Дирак позднее добавит: физические законы должны обладать математической красотой. По словам Дирака, любой будующий теоретик должен действовать косвенно. Это использование всех ресурсов чистой математики для ее усовершенствования и обобщения, что и образует настоящую основу теоретической физики. Лишь добившись успеха в этом направлении, надо истолковать уравнения в терминах физических сущностей. Действительно, величие любой физической теории определяется тем, насколько большой вклад она внесла в развитие математики. Неклассическая физика 20-го века определялась переходом от физических моделей к формальной физике. Переходом от понятия симметории, выткающем из физических законов, к понятию физических законов, вытекающих из симметрии. Именно тип симметрии определяет то, какими должны быть законы физики в данной области -- это очень сильное требование. В 1928 Дираку было 26 лет. Серьезные затруднения в то время вызывало объяснить, почему спектральные линии электрона именно таковы. Как временный выход из трудностей, Бор предложил введение дополнительной физической величины. Вскоре выяснилось, что это число есть вращение электрона вокруг собственной оси. Эта величина была названа "спин".

Дирак пытался избавиться от недостатков существовавших в то время уравнений благодаря оригинальному подходу. Он описал электрон не как одну волну, а как 4 волны. Все 4 уравнения формально были объединены в уравнение Дирака. Дирак обнаружил, что электрон ведет себя не просто как заряд, а как маленький магнит. Из уравнений Дирака можно было бы вывести величину магнитного момента. Это значение величины оказалось правильным. Кроме того, оказалось, что электроны вовсе не шарики, которые вращаются как планеты вокруг Солнца. Законы небесной механики для электронов не выполнялись. Введение 4 волновых функций вместо одной, объяснялось тем, что у электрона есть спин и электрон поляризуется как и свет. В дальнейшем выяснили, что спин имеется и у фотона. Все 4 волновые функции своего уравнения Дирак объединил в единую новую сущность, которая получила название "спинора". Вначале физики были поражены этим обстоятельством, но в дальнейшем оказалось, что спинеры были уже открыты Картаном за 15 лет до этого. И все же, в уравнении Дирака присутствовал один изъян -- это постоянно появлявшиеся отрицательные энергии. Дирак не понимал в чем их физический смысл. Но неизменно отрицательные энергии свидетельствовали о том, что должна быть частица, подобная электрону, но с положительным зарядом. В 1931 году, Дирак понял, что это анти-электрон. Вскоре эта частица была открыта и получила название позитрона. Это был триумф Дирака и доказательство связи частиц и античастиц.

Категории/Лекция | Категории/ФПКД | Категории/4-2008