Проблема существования в математике
Содержание
Термин "существование" означает наличие объектов, обладающих определенными свойствами. Если ставится задача отыскать математический объект, доказать его сущствование, то обращаются к доказательствам сущсвтвования. 2 вида:
- Эффективные доказательства ("конструктивные"). Обеспечивают фактическое вычисление или построение соответствующего объекта.
- Неэффективные доказательства. Сущствование не доказывается, но указываются способы получения, построения объекта.
Математический подход к существованию связан с проблемой сущности абстрактных объектов в математики. Расхождение между истинами матматики и тем, к чему эти истины относятся, побудили математиков к исследованию природы математических объектов. Фактически -- это проблема универсалий. Для математиков здесь 2 альтернативы -- платонизм или номинализм.
Платонический взгляд всегда был очень популярен среди математиков. Он получил новое развитие в связи с теорией бесконечных множеств. Это проявилось в философской аргументации Г. Кантора. Кантор одним из первых ввел понятия актуальной бесконечности. Оказывается, что у актуальной бесконечности есть уровни. По мнению Кантора, абсолютная и актуальная бесконечность проявляется в высочайшем совершенстве и фактически, это -- Бог.
Однако абсолютное обнаруживается в мире и может быть постигнуто в абстракции. Эта аргументация восходит к Н. Кузанскому, который одним из первых дал образец диалектического искусства операций с бесконечным. Абсолютный максимум пребывает в полной актуальности. Он -- все, чем он может быть. Он не может быть больше или меньше себя. Но это и значит, что он не только абсолютный максимум, но и абсолютный минимум. Ведь то, меньше чего ничего не может быть и есть минимум. Значит, максимум превосходит все и минимум превосходит все. Тот и другой находятся за пределами количеств и всех противоположностей. Абсолютный максимум -- есть полная актуальность всего могущего быть. Поскольку у него нет противоположности, он и совпадает с минимумом. Максимум и минимум -- это трансцендентные пределы, они обладают абсолютной значимостью. Они возвышаются над всеми количествами и заключают в своей абсолютной простоте все. Значит, их даже нельзя именовать. Ведь рассудок приписывает имена только тем вещам, которые можно либо увеличивать или уменьшать. Неименуемое, нет слов. Рассудок построен на принципе бинарных оппозиций -- в этом противоположности совпадают, говорить нельзя. Множественность сущего без числа не может быть. Без чисел прекратятся различенность, порядок, гармония и пропорция, а также и сама множественность. Здесь Кузанский опирался на мысль Блаженного Августина, что начиная мыслить мы начинаем исчислять. Говоря современным языком, всякий опыт сознания начинается с различения. Согласно Кузанскому, актуальная бесконечность есть совпадение максимального и минимального из чисел. Но нельзя дойти до актуальной бесконечности прибавлением единиц. Это и значит, что предел числа не есть число. Бесконечность -- не число. Абсолютный предел Кузанский обозначил словом Unitas. Это единство, единое, единица. Это так называемое "эйдетическое число", т.е. умопостигаемое, бытийное. Значит, к непостижимым духовным сущностям мы получаем доступ только с помощью символов или математических сущностей. Отсюда -- следующая мысль: если бы была бесконечная линия, она была бы одновременно треугольником, кругом и шаром. Бесконечность -- это действительность всего, что заключено в возможности конечного. Если у треугольника одна стороная бесконечна, две другие должны быть не меньше. Треугльник бесконечно схлопывается. Бесконечная прямизна значит бесконечная кривизна. Абсолютный максимум не может быть четырехугольным. Простейшая фигура -- треугольник, из них можно сложить все. В бесконечности фигуры сливаются между собой -> треугольник и круг суть одно. Простота не допускает избыточности. С точки зрения Кузнаца бесконечность имеет структуру и даже бесконечное можество структур.
Особый интерес представляет один из типов бесконечности, который неделимо и цельно, который находится в каждом отдельном элементе такой бесконечности. В кажой делимой части присутствует бесконечность целиком. Это неоплатонический мотив, восходящий к Проклу. Свои взгляды на уровни бесконечного Георг Кантор изложил в 1887 в работе "К учению о транс-финитном". Абсолютно бесконечное -- это предмет рациональной теологии, а транс-финитное -- это предмет метафизики и математики. Транс-финитное -- это постижение бесконечного мышлением в качестве абстракции. Оно представляется как ограниченное, доступное увеличению и в какой-то степени родственное конечному. Это также дает возможность говорить об уровнях бесконечного. Кантор предлагал рассматривать кажое бесконечное множество в его завершенности как некую единую вещь саму по себе. Тогда такое множество можно представить себе как бы сосчитанным и поставить ему в соответствие некое число, которое Кантор назвал "кардинальным" числом или "мощностью" множества. В понятии мощности уже заключено представление о том, что одна бесконечность мощнее другой. Интуитивно понятно, что натуральных чисел не больше, чем действительных. В области действительных чисел между двумя действительными числами всегда есть третье. Поэтому мощность множества действительных чисел и называют "континуумом". Однако вот что странно -- рациональных чисел столько же, сколько и натуральных. Такой тип множеств называют "счетными" множествами. Однако в отношении бесконечных множеств нельзя применять такие термины как "больше" или "меньше". Они имеют отношение только к области конечных величин.
В 19-м веке, Б. Бальцано (чешский математик) предложил понятие "эквивалентности". Бесконечные множества могут быть эквивалентными. Например, множество рациональных чисел эквивалентно множеству натуральных. Числовой промежуток от 0 до 1 эквивалентен множеству действительных чисел. Кантор писал, что в отношении актуальной бесконечности среди математиков есть старинное предубеждение, "horror infinity" (ужас бесконечного). Это предубеждение связано со смешением понятий "актуальная" и "потенциальная" бесконечностей. Потенциальная бесконечность -- это неопределенная и всегда остающаяся конечной переменная величина. Потенциальная бесконечность -- это область очень больших но все же конечных величин. Актуальная бесконечность консистентна, завершена. Она относится к неизменному, постоянному в себе количеству, которое больше чем любая другая величина того же рода. Кантор также ввел само понятие множества. Множество -- это любое объединение в одно целое определенных вполне различимых объектов из нашего восприятия или мысли. Эти элементы и называют элементами множества. Существенный пункт определения множества у Кантора -- в том, что множество должно рассматриваться как нечто единое. Разрозненные цветы не составляют букета. Элементы, не обладающие общим свойством не представляю собой множества. Канторовское определение множества несет в себе интуитивный принцип -- принцип объема. Это задание множества путем перечисления элементов. Годится от только для конечных множеств, да и то не очень больших. Например, невозможно задать множество под названием челвоекСущественный пункт определения множества у Кантора -- в том, что множество должно рассматриваться как нечто единое. Разрозненные цветы не составляют букета. Элементы, не обладающие общим свойством не представляю собой множества.
...
Невозможно задать множество "человечество", просто перечислив всех людей.
В теории множеств прнято задавать множество по содержанию -- тому характерному признаку, который должен быть присущ всем его элементам. Определение множества по общему свойству связано введение абстрактных объектов. В качестве такого объекта -- само множество. В построении теории множеств указанный признак выражается аксиомой свертывания:
- Любые математические объекты, обладающие общим свойством образуют множество, элементом которого они являются.
- Любое множество можно рассматривать как математический объект, который является элементом другого множества. Процедура свертывания множества в единство называется "компрессией". Здесь обнаруживается методологический платонизм.
- Сущствование образуемого множества постулируется до его фактического построения.
- Допускается возможность рассмотрения полученного множества в качестве единства идеальной сущности. Парадоксы теории множеств ("Брадобрей") как раз опираются на принцип, который разрешает рассматривать сами множества в качестве элементов других множеств.
Противоположностью математическому платонизму выступил логический позитивизм. Он сводил вопрос о существовании абстрактных объектов к вопросу о выборе языка. Наиболее полно эту точку зрения выразил Р. Карнап в статье "эмпиризм, семантика, онтология". Вопрос о существовании абстрактных объектов имеет смысл только в рамках определенной языковой системы. Если мы принимаем язык, в котором заданы правила операций с заданными числами, то сразу признаем существование любого натурального числа. В логико-математическом языке приходится привлекать чисто логические методы чтобы установить сущствование определенного объекта. Существование объектов в рамках определенного языка Карнап называл внутренним вопросом. Его надо принципиально отличать от внешнего вопроса о реальности системы самих этих объектов. Что реально стоит за такими объектами как число, функция, множество? В качестве ответа на внутренний вопрос был предложен критерий существования. Существовать -- значит быть элементом некоторой языковой системы. По мнению Карнапа выбор языка часто диктуется прагматическими соображениями: эффективность, плодотворность, простота.
Особый интерес представляет т.н. "львовско-варшавская" школа логики. Она создала континетнальный вариант аналитической философии. Результаты этой школы, достигнутые до Второй мировой стали актуальными в связи с исчерпанностью англо-язычного варианта аналитической философии. Указанная традиция прослеживается по линии: Бальцано -- Брентано -- ранний Гуссерль -- Казимиш Твардовский (как основатель школы) -- Готлиб Фреге -- сама Львовско-Варшавская школа. Развитие Львовско-Варшавской школы связано с тенденцией к точности выражений и высокой логической культуры. Учениками Твардовского были выдающиеся логики А. Тарский, Ян Лукасевич. Лукасевич говорил, что логика -- мораль языка и мышления. Тарский замечал, что религия и идеология разделяют людей в то время как логика их объединяет. Для школы был характерен философский минимализм, т.е. нежелание навязывать ученикам никакой определенной философской системы. Все мировоззренческие следствия из логических исследований должны рассматриваться как личное мнение данного мыслителя. Главная идея Твардовского состояла в том, что нужно преодалеть психологизм в логике. В конце 19-го века бытовало убеждение, что объекты математики и логики существуют как психологические сущности и познаются как другие факты психики. Лукасевич написал короткую, но важную статью "Логика и психология", которая стала манифестом анти-психологизма. Во-первых, психологические законы не являются основанием для логических законов. Психологические законы вероятностны как эмпирический законы. А логические имеет характер необъодимых. Значит, психология не может быть основанием логики. Во-вторых, логические законы относятся к связям между истиной и ложью, а понятия истины и лжи к психологии неприменимы. В связях между психическими являениями эти понятия никак не участвуют. Логика есть наука об условиях правильного мышления и о связях между истинностью и ложностью суждений. Из этого никак не следует, что логика есть наука о психических явлениях. Выяснение отношений логики и психологии принесет пользу обеим наукам. Логика очистится от рецидивов психологизма и эмпиризма. Психология познания -- от мешающего ей априоризма. Логика, как и математика, является априорной наукой, а психология обязана опираться на опыт. Эти аргументы прямо восходят к Гуссерлю и Мейнонгу, чего Лукасевич и не скрывал. Лукасевич признавал также, что математическая логика имеет номиналистический покров. Она трактует о высказываниях и именах, понимаемых как записи определенной формы. Однако номинализм вызывает много сомнений. Множество записей всегда явлется конечным. Ведь человек может создать только конечное число записей. Однако логические и математические системы состоят из бесконечного числа доказуемых положений. Защита номинализма -- в ограничении множества доказуемых положений выражениями где-то и кем-то записанными. Но это как раз и делает невозможными мета-логические исследования. Лукасевич считал, что логики только используют номиналистическую терминологию, но, по сути, номиналистами не являются. Действительность, исследуемая логикой, лежит вне сферы письменных текстов. Правда, религиозные убеждения могут склонять логика к платоническим интерпретациям, но это, опять-таки, его личное мнение. Это важный методологический принцип -- умение различать объективно полученный результат и свои личные мнения по поводу следствий, вытекающих из этого результата.
Ученики Твардовского считали, что логика не призвана и не в состоянии решать философский спор об универсалиях. Те же логики, которые считают эту науку проявлением номинализма не имеют для этого достаточных оснований. Номинализм -- это только интересная рабочая гипотеза, а в целом логика нейтральная в отношении спора об универсалиях. Варшавская логическая школа отвергала тезис об аналитическом характере логики и математики. Согласно аналитическому тезису, логика и математика состоят из ничего не говорящих о мире тавтологий. Но если это так, то нельзя объяснить объективность математики в мире. А. Тарский не считал границу между формальными и эмпирическими науками достаточно резкой. Позиция же Лукасевича несколько раз менялась и очень серьезно. Он полагал, что утверждения логики истинны в силу определений и аксиом. Они имеют своим источником разум, а не опыт. Исходя из этого, логика является областью чистого умственного творчества. Однако открытие многозначных логик поставило проблему об их отношении к действительности. Главное -- какая из этих логик правильная. Значит ли это, что логические системы нужно проверять фактами, как проверяют физические гипотезы? Благодаря проверке, можено было бы убедиться, какая из систем проверки работает в реальном мире. В конце жизи Лукасевич пришел к печальному выводу, что это сделать неудается. Скорее всего, он придерживался точки зрения локального плюрализма. Здесь признается возможность истинности различных систем логики в различных онтологических сферах.
Современные школы обоснования математики нельзя связвать непосредственно с традиционными философскими направлениями. Однако почти общепринятым считается тезис о том. что существование в математическом смысле означает непротиворечивость. Хотя, по сути дела, сам этот тезис является вторичным по отношению к построению конкретной модели на основании которой эта непротиворечивость и доказывается.