Метаматематика и теория истины Тарского

Сам термин "метаматиматика" ввел в обиход Д. Гильберт.

Одним из выдающихся логиков Львовско-Варшавской школы был Тарский. Он понимал мета-математику как методологию дедуктивных наук. Эвристическим источников для ее развития стало последовательное различение языка и мета-языка, т.е. логической системы и комментария к ней. Строго говоря, мета-математика не должна быть единой теорией. Для каждой дедуктивной системы может быть построена своя мета-дисциплина. Однако такое исследование имеет и более общий характер. Это установление основных свойств общих математических понятий. К мета-математике не относятся рассуждения по поводу дедукции, которые ведутся на философском языке. Мета-математика -- это научное исследование. Гилберт и Тарский это особо подчеркивали, ибо они сильно боялись упреков.

Гильберт развивал мета-математику в связи с доказательством непротиворечивости. Гильберт принципиально придерживался т.н. "финитных" методов. Это решения проблем в конечное число шагов. Т.о., существовала жесткая привязка мета-математики к определенной философии математики.

Программа Гильберта была во много утопичной. Однако по словам самого Гильберта, сказанным по другому случаю, труд гениев, даже ложно направленный, в конечном счете, служит ко благу человечества. Основная идея Гильбертовской программы, обоснование математики -- в том, чтобы выразить классическую математику в виде формализованной аксиоматической системы, а затем доказать ее непротиворечивость. Гильберт стремился выразить все аксиомы в виде формул чтобы отказаться от сомнительных содержательных утверждений. Все высказывания, составлвряющие вместе математику, превращаются в формулы, а сама математика -- это совокупность формул. Содержательное математическое исследование должно быть представлено в виде формальной системы (исчисления)/ Такой подход называют также "синтаксическим". Здесь нет необходимости вникать, что обозначают данные знаки -- это просто последовательность символов, которую мы в состоянии различать. Содержательный момент сведен к минимуму, к умению различать знаки. Но с этим справится и любая машина. Тогда доказательство -- конечная последовательность формул. Последняя формула есть доказываемая теорема. Все предыдущие либо аксиомы либо доказанные теоремы. Нам нужно показать непротиворечивость тех систем, которые получаются при формализации. В классической математике Гильберт предложил различать идеальные и конечные высказывания.

• Конечные высказывания допускают проверку в конечное число шагов.
• Идеальные высказыванию присоединяются к конечным, чтобы удержать формально простые законы аристотелевской лоигики. К идеальным высказываниям, по мнению Гильберта, относится, например, "Актуальная бесконечность". Она рассматривается по аналогии с конечными совокупностями и поэтому считается, что для нее выполняется закон исключенного третьего.

Гильбертовская мета-математика необходима для доказательства непротиворечивости формальных систем. Обычный способ доказательства непротиворечивости системы аксиом состоит в нахождении, интерпретации или модели. Она состоит из объектов какой-либо другой теории, причем непротиворечивость этой теории ни у кого не вызывает сомнения. Чаще всего, используется теория множеств. Но Гильберту такой путь не подходил. Он сам собирался доказывать непротиворечивость теории множест. Но подыскать подходящую модель для аксиоматики теории множеств трудно. Обращаться непосредственно к объектам реального мира, в данном случае -- некорректно. Ведь математические понятия, в частности, бесконечность, вовсе не даны нам в опыте. Они экстраполированы из опыта с помощью некоторого интеллектуального процесса. Сам Гильберт продемонстрировал, насколько легко мышление математика мигрирует между научным и философскими подходами. Он обратился к известной апории. Дихотомии, непосредственно связанной с проблемой континуума. На ней базируется и аргумент "стадион". Парадокс возникает исключительно при перенесении математической проблемы в материальную действительность. То что верно для бесконечных множеств, не верно для конечных величин. Физика имеет дело только с конечным. Словосочетание "физическое бесконечность" лишено смысла. Физик в своих теориях нигде с бесконечностями не имеет дело. Физическая теория бесконечностей осознанно избегает. В физике эта процедура называется перенормированной теорией. Это и означает, что апория "Дихотомия" не имеет физического смысла. Гилберт акцентирует на этом внимание, чтобы показать: материальная истинность ему не помощница. Таким образом, математик вынужден обратиться к прямому доказательству непротиворечивости аксиоматических систем. Следует убедиться, что исходя из аксиом и точных правил вывода никогда нельзя придти к противоречию. ПРотиворечие -- это одновременное доказательство некоторой формулы и ее отрицания. Для этого и нужна метаматематика. Математические рассуждения и доказательства становятся предметом специального рассмотрения.

Программа Гильберта проясняется по аналогии с шахматной игрой. Расположение фигур на доске в начале партии -- аксиома в формальной математике. Правила передвижения фигур == правила вывода. Расположение фигур на доске после обмена ходами соответствует новой выведенной формуле. Доказательства непротиворечивости формальной математики на языке шахмат сводится к следующему увтерждению: В правильно разыгранной шахматной партии никогда не будет такого расположения фигур, чтобы на доске оказалось 10 ферзей одного цвета. Правила игры в шахматы запрещают увеличение числа фигур любого цвета. Первоначальная сумма количества пешек одного цвета и ферзя того же увета, равна 9. И не может увеличиваться. Значит никогда в ходе игры эта сумма не превзойдет число 9. В рассуждении о шахматах пришлось говорить о самих правилах игры, т.е. присоединить элементарное суждение.

Аналогично, чтобы говорить о формальной математики нужно присоедитить к ней содержательную мета-математику. Мета-математика должна быть освобождена от всех сомнительных понятий теорий множеств. Наибольшее возражение вызывает концпеция актуальной бесконечности. Значит надо ее выкинуть. Надо определить, какие понятия и методы не вызывают ни у кого сомнений. Модель для аксиоматеческой теории -- это система объектов, взятая из другой теории. Каждому объекту или первоначальному понятию сопоставляется объект или понятие другой теории. Аксиомы первоначальной теории оказывааются теоремами в другой теории, или соответствуют им. Если вторая теория непротиворечива, то считается доказанной непротиворечивость первой теории. Например Декарт в 1916 году разработал аналитическую геометрию. Это употребление координат дял представления геометрических объектов. Аналитическая геометрия стала общим методом установления непротиворечивости геометрическим теорий на сонове анализа. Однако доказательство непротиворечивости методом модели являются относительными. Они срабатывают только в том случае, если теория, к которой мы сводим изучаемую теорию безупречна. Однако это не всегда так. Гилберт признавал в мета-математике только финитные методы. Никакой объект нельзя считать существующим, если не указан способ его построения. Если бы программа Гильберта удалась, до была бы окончательно обоснована вся классическая математика. Однако если формальная система не противоречива, то это не влечет с необходимостью истинности ее интерпретаций. Такой интерпретацией является сама содержательная математика. Однако самого Гильберта это не останавливало. Он считал доказательства непротиворечивости достаточным для надежности выводов классичекой математики. Лишь после работ Тарского и Геделя выяснилась неосуществимость этой программы в первоначальном виде.

Цель Тарского -- в том, чтобы сформулировать формально безупречное определение термина "Истинное высказывание". Тарский предложил цепочку приближений, исходя из классического определения истины. Первое приближение утверждает, "истинно высказывание -- это высказывание, в котором говорится об определенном положении вещей и положение вещей именно таково". Это не безупречная формулировка ни с точки зрения строгости, ни с точки зрения корректности. Однако интуитивное содержание прозрачно и его можно принять для начала. Для дальнейшего уточнения Тарский построил общую схему: "X является истинным высказыванием тогди и только тогда, когда P". Эта схема генерирует целый класс частичных определений истины. При этом символ P заменятется каким-либо высказыванием, X -- любым единичным именем этого высказывания. Например "Падает снег" -- истинное высказывание ттт когда падает снег. Иногда общая схема является источником парадокса лжеца. Допустим, знак "C" -- это сокращение для высказывания "Высказывание, фигурирующее на этой странице". Высказывание "C не является истинным высказыванием", тогда, применяя схему, введенную Тарским, получим высказывание "Высказывание "C не является истинным высказыванием" есть истинное высказывание ттт когда C не является истинным высказыванием." Но поскольку C -- это любое высказывание, фигурирующее на данной странице, то можно принять и соглашение, что C совпадает с высказыванием "C не является истинным высказыванием". Тогда немедленно получаем антиномию: "С является истинным высказыванием ттт когда C не является истинным высказыванием". Это и есть парадокс лжеца. Антиномии получены из-за того, что в сфере Тарского вместо высказывания P подставлено выражение, содержащее имя "истинное высказывание". Однако нет никаких рациональных причин запрещать такую рациональную подстановку. Характерная черта естественного языка -- его универсализм. В этом -- отличие естественного языка от различных научных языков. Не отвечала бы духу естественного языка, если бы в научных языках нашлись такие выражения, которые нельзя было бы перевести на естественный язык. Универсальность естественного языка -- существенный источник антиномий. Всякий универсальный язык, который подчиняется законам обычной логики с необходимостью несет в себе противоречие. Это и делает проблематичным последовательное и согласнованное оперирование выражением "Истинное высказывание". Определение истины на почве обыденного универсального языка оказывается смешением языков различных уровней. Т.е. языки и мета-языки здесь сливаются. С точки зрения строгой логики, это некорректно. Видимо в обыденном языке, строгое определение истины дать не удается, а можно только дать описание понятия истины. Сам Тарский, поэтому, обратился к формальным языкам. Для исследования формализованного языка нужно располагать соответствующим мета-языком, с помощью которого можно говорить о языке, который мы исследуем. Мета-язык должен быть более развитым и богатым, чем исследуемый язык. Он должен содержать имена вырженийй исследуемого языка и общие логические символы. С помощью них в мета-языке формулируются высказывания об исследуемом языке. Вовсе не обязательно, чтобы метаязык был формализованным, хотя ничто этому и не мешает. Но тогда надо вводить язык еще более выского уровня. Тарский ввел условие адекватного определения истины, которое вошло в историю логики как "конвенция". Это не определение истины, но определение возможностей...

Множество VR -- это множество истинных высказываний. Чтобы корректно определить этот символ, в мета-языке. Это влечет за собой 2 следствия:

• все высказывания, которые можно получить из схемы X включено в VR ттт когда P. Для этого символ X заменяется описательным именем любого высказывания изучаемого языка. А символ P заменяется переводом этого высказывания на метаязык. На содержательном уровне, первое следствие означает, что любое частичное определение означает должно выводиться из общего определения истины. Есть и второе следствие конвенции:

• На содержательном уровне, оно утверждает, что истинность -- это свойство только высказываний. В современных трактовках оно опускается, ведь можно говорить, например, об истинности теории.

В процессе исследования оказалось, что семантическое понятие истины Тарского применимо не ко всем языкам. В частности, к номиналистическим языкам, типа языков Лесенвского применима теорема Тарского о неопределимости истины. В упрощенном виде она звучит так: Если класс всех теорем метанауки не противоречив, то на его основе не удается построить адекватное, в смысле конвенции Тарского, определения истины. В общем виде, такие языки не могут содержать общих утверждений об истине. Это делает их неполными и не интересными. Даже добавление к этим языками бесконечной индукции не решает проблему. Ведь единственный контр-пример способен разрушить все здание индукции. Тарский сформулировал свои результаты в то время, когда Гедель -- свои теоремы о неполноте. Гедель исселовал формализованные дедуктивные системы, содержащие арифметику натуральных чисел. Гедель показал, что любая такая система если не противоречива, то не полна. В ней всегда есть истинные, но недоказуемые в ней утвреждения.

Между работами Тарского и Геделя есть глубокая связь. Теорема Тарского о невыразимости истины есть один из способов доказательства теоремы Геделя. Однако различие здесь -- на философском уровне. Гедель стремился к конструктивным, конечным доказательствам. Из результатов Тарского вытекает, что для построения содержательной, богатой теории, нужно допускать в метаязыке теорию множеств. Это значит, от актуальной бесконечности никуда не деться. Это утверждение эквивалентно принятию т.н. "инфинитных" методов, т.е. допускающих бесконечности. Работа Геделя была опровержением гильбертовской программы об обосновании математики исходя из самой этой программы. Работа же Тарского изначально выходила за пределы этой программы. Тарский хотел уточнить классическую концепцию истины, дать такое объяснение, которое заменило бы формулировку Аристотеля, но сохранило бы ее принципиальную направленность. Тарский сознавал, что он как логик касается ключевой проблемы теории познания. Он расчитывал на особое внимание со стороны именно гносеологов. Особое влияния Тарский оказал на Р. Карнапа и на К. Поппера. Поппер вообще считал его своим учителем, хотя они были практически ровесники. Было высказано мнение, что концепция Тарского лишена философской окраски. Особенно на это налегали Гильберт и его сотрудники. Они указывали, что определения истины в смысле Тарского ничего не проясняет в философском смысле. Тарский и его комментаторы указали, что нельзя смешивать конвенцию Тарского с определением истины. Конвенция только устанавливает условия возожности такого определения. Определение же Тарского сводится к утверждению: "Высказывание X соответствует фактам тогда и только тогда, когда любой ряд предметов выполняет это высказывание." Классическое Аристотелевское определение истины утверждает, что истина -- есть соответствие или адекватность вещей и интеллекта. Однако на протяжении веков осталось непроясненным само понятие "адекватности". Это и породило многовековые запросы относительно того, как понимать соответствие. Что это -- подобие или тождество. Философская идея Тарского -- в том, чтобы эксплицировать понятие адекватности через понятие выполнимости любым рядом предметов. Можно конечно сомневаться в том, насколько хороша такая экспликация. Однако Тарский дал хотя бы рабочую модель. Возражение против классического определения истины -- в том, что в нем говорится чем является истина. Однако не указывается как ее можно распознать. Это вопрос о критериях истины. Тарский показал, что это не является недостатком классического определения истины. Это его существенное отличие. Семантическое определение истины имеет неконструктивистский характер. В дедуктивных науках критерием истины считается доказательство. Однако сам Тарский доказал теорему, что в богатых теориях класс истинных высказываний шире чем класс доказуемых высказываний. Здесь его результат опять совпадает с Геделевским. Самый важный философский результат Тарского -- в том, что критерий истины не определяет самого понятия истины. Можно даже сказать о некоторой автономии понятия истины по отношению к понятию критерий истины. В то же время теория Тасркого многозначна в философском отношении. Сам Тарский полагал, что его теория нейтральна к любым эпистемологическим ориентациям. Здесь опять выразился дух времени -- анти-спекулятивная установка Венского кружка. Тарский не был столь радикален. Но он считал неуместным приписывать терминам иное значение, нежели то, которое они имеют в логике и математике. Однако из метафизической нейтральности теории Тарского не вытекает ее философская нейтральность вообще. Ведь теория истины не сводится только к умозрительным построениям. В значительной степени, это проблема философии и науки и основа научного реализама. Семантическая теория истины стала новой парадигмой не только в математической логике, но и в значительной части философии. Это не смотря на то, что есть замечания по поводу ее адекватности в отношении естественного языка, языка эмпирическим наук и некоторых формализованных языков.

Одним из выдающихся логиков второй половины 20-го века является Саломон Крипки. Он попытался обойти проблему метаязыка и потроить теорию истины формализованного языка так, чтобы он была воспроизводима в самом языке. Правда, видимо, это пока ни к чему не привело.

Категории/Лекция | Категории/ФПКД | Категории/4-2008