Комплексные числа: на стыке алгебры, анализа и геометрии
«От безбожья до Бога ― мгновенье одно. От нуля до итога - мгновенье одно. Береги драгоценное это мгновенье: Жизнь ― ни мало, ни много ― мгновенье одно!» Омар Хайям
Комплексные числа ― простой математически объект, встречающийся во многих разделах математики. В истории этого понятия возникли глубокие проблемы, относящиеся к теории познания. Мнимые числа стали, по существу, первым объектом, полученным в результате абстрактной конструкции. Перед геометрами встал вопрос об их существовании, об онтологическом статусе, о том, как обосновать их «реальность».
Невозможные числа появились как квадратные корни из отрицательных чисел. Они позволили решить уравнения 3-й и 4-й степеней и привели к появлению новых методов вычисления. Эти методы, несмотря на свою полную необъяснимость, позволяли получить осмысленные результаты. По этим, чисто эмпирическим причинам математики пользовались ими все более уверенно.
Франсуа Виет установил соотношения, связывающие коэффициенты и корни алгебраического уравнения. Виет догадался, что можно построить уравнение n-ой степени, имеющее n корней ― различных или совпадающих.
Альбер де Жирар в 1629 году в работе «Новое изобретение в алгебре» первым сформулировал утверждение, что всякое уравнение n-ой степени имеет в точности n корней, если считать и «невозможные корни». Это было не более, чем утверждение. Понадобился целый век, прежде чем математики ощутили необходимость в доказательстве этого результата.
В 1637 году Декарт писал в своей «Геометрии»: «... как истинные, так и ложные корни не всегда бывают действительными, оказываясь иногда лишь воображаемыми... иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням...»
Термин imaginaire может быть истолкован как «воображаемый» и как «мнимый». С появлением термина «мнимый» появляется двусмысленность в его употреблении. С одной стороны, существует идеальное толкование Декарта, определяющее мнимость как «невозможность». С другой стороны, мнимыми числами стали называть числа a+bi, введенные итальянскими алгебраистами при решении уравнений низких степеней.
Эта двусмысленность была присуща всем предпринятым попыткам доказать утверждение, получившее название основной теоремы алгебры. Речь идет о возможности разложения произвольного вещественного многочлена на множители первой и второй степени, а затем о разложении всякого комплексного многочлена степени n на n множителей первой степени.
Эта теорема названа основной в силу исторических причин. До середины 19 века алгебра была анализом уравнений. Она занималась исключительно методами их явного решения, методами приближения и оценивания корней в тех случаях, когда было неизвестно, как их вычислить, установлением правил, позволяющих узнать число вещественных корней и их знак. В этих условиях важность такой теоремы понятна. Основоплагающий характер данной теоремы подтвержадается еще двумя обстоятельствами:
- количество ее доказательств свидетельствует о большом интересе, проявленном к ней со стороны выдающихся математиков;
- широкое разнообразие связанных с ней методов, теорий и понятий указывает на огромную роль, которую она сыграла в развитии математических исследований.
Карл Гаусс (1777-1855) показал, что все доказатетельства основной теоремы алгебры опирались на один неявный постулат: всякое уравнение степени n с вещественными коэффициентами действительно имеет n корней. С этими корнями при вычислениях можно обращаться, как с числами. Единственное, что требуется доказать ― это то, что корни имеют вид a+bi.
Гаусс в своей диссертации 1799 года (22 года) заявил, что рассуждения его предшественников приводят к порочному кругу.
В основе доказательства лежит предположение (аксиома) о том, что уравнение действительно имеет n корней, возможных или невозможных. Если под возможными понимаются вещественные числа, а под невозможными ― комплексные числа, то такая аксиома недопустима, ибо это как раз то, что требуется доказать. Если же под возможными понимаются вещественные и комплесные величины, а под невозможными все те, которых не хватает для того, чтобы было ровно n корней, то эта аксиома приемлема. Тогда невозможная величина ― это величина, не существующая во всей области величин.
В этом последнем случае Гаусс не позволяет себе вычислений с такими величинами. В частности, Гаусс исключал использование соотношений между коэффициентами и корнями. В самом деле, чтобы проводить такие вычисления, надо сначала убедиться, что эти корни образуют поле, что четыре арифметических действия над ними приводят к результату из той же области величин.
В дальнейшем порочного круга удалось избежать, поскольку гипотеза Гаусса оказалась правильной. Независимо от основной теоремы алгебры можно показать, что корни действительно лежат в некотором поле. Оно называется полем разложения данного многочлена и является наименьшим полем, содержащем его коэффициенты, в котором многочлен разлагается на линейные множители.
Указанная теорема стала соновной теоремой алгебры, поскольку сосредоточила в себе все проблемы, которые ставились в 18 веке в теории уравнений. Различные ее доказательства нашли отражения в других теориях. Впервые вышли на поверхность элементы, ставшие основой создания теории групп (у Лагранжа) и теории полей (у Гаусса).
Эти теории развивались в дальнейшем самостоятельно, вне связи с теорией уравнений. На смену ей пришло утверждение о том, что «поле С алгебраически замкнуто». Речь идет о строении поля комплексных чисел, а не о специфическом свойстве математического объекта, названного уравнением.
Другая формулировка того же самого результата ставит совсем другие проблемы и открывает новую эпоху.
Назовем это основным гносеологическим выводом алгебры.
Леонард Эйлер применил комплексные величины к тригонометрии. Благодаря Эйлеру тригонометрия стала независимой ветвью математики.
Позднее Тобиас Данциг скажет о знаменитой формуле Эйлера, что на содержит «самые важные символы: таинственное единение, в котором арифметика представлена 0 и 1, алгебра ― посредством √-1, геометрия ― посредством π, а анализ ― посредством e»
С конца 17 века предпринимались попытки геометрической интерпертации комплексных чисел. Понадобился почти век, чтобы добиться на этом пути результатов.
Всякому комплексному числу a+bi ставится в соответствие точка М в прямоугольной системе координат. Точка М имеет абсциссу а и ординату b. Действительные числа изображаются точками на оси Ох, а мнимые числа ― на оси Оу. В частности, мнимой единице соответствуют координаты (0,1).
В декартовой системе координат точка М задается длиной радиус-вектора ОМ (р≥0) и значением угла θ, который ОМ составляет с осью Ох.
Число р называется модулем комплексного числа z, а θ ― его аргументом.
Таким образом, z=a+bi=p(cos θ + i sin θ).
Вводятся операции над комплексными числами. В частности, умножение на i сводится к повороту вектора на 90 градусов. Мнимая единица получает смысл оператора перехода к перпендикулярному вектору. Вначале не принциаы векторного исчисления и не понятие взаимнооднозначного соответствия лежали в основе геометрического представления комплексных чисел.
Наоборот, когда вырабатывалось это представление, складывались эти принципы и понятия.
Открытие геометрического представления комплексных чисел имело две особенности:
- большое количество независимых, но сходных попыток, предприняли в основном математики-любители, не связанные с математическими кругами;
- великие профессионалы весьма сдержанно относились ко всем этим попыткам.
Первый мемуар на эту тему принадлежал датчанину Каспару Весселю. Его работа была написана в 1797 году, но стала известной только сто лет спустя (гений 3 рода). В 1806 году швейцарец из Женевы Робер Арган опубликовал свою работу, но она стала известной только через 8 лет в связи со скандалом и подозрениями в плагиате, поскольку другой математик Франсэ опубликовал аналогичную статью, но в более солидном журнале.
Принцип геометрического представления комплексных чисел стал общепризнанным только после принятия его Гауссом и Коши.
Причина долгого неприятия геометрического представления состояла в неприятии тех идей, которые лежали в его основе и могут быть названы «геометрическим реализмом». Например, Арган оперировал направленными линиями, фактически векторами. Исходя из этого, он определял действительные и комплексные числа как объекты одной природы и полагал употребление термина «мнимые» неуместным. Такая точка зрения шокировала алгебраистов Кембриджской школы и всех их последователей на континенте.
Первейшим требованием кембриджцев была чистота алгебры, науки знаков и их комбинаций, ее полная независимость даже от арифметики и тем более от любых геометрических формулировок.
Августин Луи Коши (1789-1857) возглавлял французскую математическую школу первой половины 19 века. Он усиленно занимался установлением статуса комплексных чисел, начиная со своего «Курса анализа» в Политехнической школе (1821).
Коши полагал, что теория комплексных чисел покоится на «принципах, которым недостает ясности».
Для Коши мнимое число было неким «символическим выражением», само по себе не имеющим смысла. Однако оно подчинено некоторым фиксированным правилам и установленным соглашениям.
Формальная концепция Коши отличалась от британской школы. Кембридж считал допустимым любые операции над знаками по определенным заранее законам, не связанным со свойствами действительных или комплексных чисел. Коши же всегда беспокоила природа тех математических объектов, которыми он оперировал.
Коши сделался явным сторонником геометрического представления только в 1847 году. Он пришел к выводу, что понятие геометрической величины включает в себя как частный случай понятие алгебраической величины. Комплексное число есть пример такой геометрической величины размерности 2.
Коши был убежден, что подлинное геометрическое исчисление еще впереди. Только тогда аналитик, которому претит использование «нечистых средств», сможет признать геометрическое представление как основополагающую теорию.
Первым математиком, имевшим совершенно четкое представление о статусе мнимых чисел, был Карл Гаусс. Идея их геометрического представления появилась у него в 1799 году, когда в диссертации он провел чисто топологическое рассуждение, примененное в доказательстве основной теоремы алгебры. Нужно было показать, что многочлен Р от комплексного переменного z имеет по крайней мере один комплексный корень.
Гаусс пишет P(z)=P(x+iy)=R(x,y)+iS(x,y), где R иS ― многочлены от двух переменных x и y. Гаусс замечает, что точки (x0, y0) на плоскости, такие что x0+iy0 есть корень Р, лежат на пересечении кривых R=0, S=0. Путем качественного изучения этих кривых Гаусс показал, что непрерывная дуга одной из них соединяет точки двух различных областей, разграниченных второй кривой. Отсюда следует вывод, что кривые пересекаются. Но пока еще Гаусс не определил явно соответствия между точками плоскости и комплексными числами.
Только в одном из писем 1811 года Гаусс высказался со всей определенностью:
«... как совокупность всех действительных величин можно мыслить в виде бесконечной линии, так и совокупность всех величин, действительных и мнимых, можно сделать зримой посредстовм бесконечной плоскости, каждая точка которой, определяемая абсциссой a и ординатой b, будет как бы представлять величину a+bi. Непрерывный переход от одного значения х к другому a+bi поэтому совершается по линии и, следовательно, возможен бесконечно многими способами».
Гаусс хорошо понимал ценность геометрического представления с педагогической точки зрения. Он первым предвидел ту роль, которую геометрическое представление комплексных чисел, как методическое средство, сыграет в области анализа.
Гаусс никогда не спешил публиковать полученные им результаты, когда предчувствовал богатство теории, которой он еще в недостаточной степени овладел. В 1831 году Гаусс вводит сам термин «комплексное число». Особенно ясно о геометрическом представлении комплексных чисел Гаусс написал в своем мемуаре «Теория биквадратных вычетов». Гаусс особенно подробно изучает числа вида a+bi, где a и b ― целые рациональные. Их называют теперь гауссовыми числами. Все изложение было чисто арифметическим, но предлагалось также наглядное изображение в виде целочисленной решетки на плоскости. Выделение Гауссом целых комплексных чисел, построение их арифметики сыграло решающую роль в признании выражений вида a+bi числами.
К концу 40-х годов 19 века геометрическое представление комплексных чисел было принято повсеместно, что привело к бурному развитию теории аналитических функций, комплексного интегрирования.
Риман заставил комплексную переменную пробегать не плоскость, а поверхность, состоящую из налагающихся друг на друга листов.
Геометрическая теория комплексных чисел все же казалась неудобной, поскольку связывала любые алгебраические свойства с геометрическим рассмотрениями, как будто не относящимися к делу.
Ирландский математик Уильям Гамильтон (1805-1866) занимался проблемами оснований арифметики и алгебры.
В рамках британской познавательной традиции Гамильтон хотел устранить из них все пространственные представления и вернуться к «чистому времени».
В этом, как кажется, сказывалось влияние Локка и Юма.
К 1835 году Гамильтон разработал арифметическую теорию комплексных чисел. В этой теории они рассмтриваются как пары вещественных чисел, а сумма и произведение пар определяются явными формулами:
(a,b)+ (c,d)=(a+c, b+d) (a,b)∙(c,d)=(ac-bd,ad+bc) Вещественные числа отождествляются с парами вида (а,0), причем имеют место соотношения: (a,b)=(a,0)+ (0,b)= (a,0)(1,0)+ (b,0)(0,1)
Пару (1,0) Гамильтон назвал первичной единицей, а пару (0,1) ― вторичной единицей.
Отождествив комплексное число с парой вещественных чисел, Гамильтон определил i как извлечение квадратного корня из пары (-1, 0). Таким образом удалось обойти препятствие, каким была запись квадратного корня из отрицательного числа.
Гамильтон предпринял попытки определить операции сложения и умножения для троек вещественных чисел, чтобы операции обладали свойствами сложения и умножения самих вещественных чисел. В течение нескольких лет все попытки разработать алгебраическое исчисление трехмерных комплексных чисел оставались тщетными. В то же самое время над той же проблемой работали и другие математики. Они основывались на том, что комплексные числа и действия над ними соответствовали действиям над векторами на плоскости. Математики искали подобные аналоги в трехмерном пространстве.
После многолетних усилий Гамильтон был вынужден сделать две уступки: во-первых, новые числа состояли из трех компонент; во-вторых, для них не выполнялась коммутативность умножения.
Гамильтон назвал новые числа кватернионами. Кватернион записывается в виде q=a+bi+cj+dk, где выполняются следующие соотношения:
i=j=k=√-1 a,b, c, d ― вещественные числа, 1, i, j, k не складываются между собой; ij=k, ji=-k; jk=i, kj=-i; ki=j, ik=-j.
С геометрической точки зрения, можно объяснить, почему у новых чисел четыре компоненты. Рассматриваемые как операторы в трехмерном пространстве вещественных чисел, он должны подвергать каждый вектор повороту вокруг заданной оси, а затем умножению на скаляр.
Что касается некоммутативности умножения, то его признание в то время было настоящим переворотом. В идейном плане оно явилось важным шагом на пути к общему понятию закона композиции.
В работе Гамильтона о кватернионах впервые употреблен термин ассоциативность, означающий, что некая операция, обозначаемая символом × удовлетворяет условию x×(y×z)=(x×y)×z.
Позднее Кэли, отбросив требование ассоциативности умножения, построил обобщение кватернионов ― октавы Кэли ― наборы, состоящие из восьми компонент с двумя операциями. Хотя, как часто бывает в истории науки, открытие приписано совсем не тому человеку. Друг Гамильтона по колледжу, Джон Грейвс, услышав о кватернионах, нашел через два месяца восьмимерную числовую систему. Найденные числа Грейвс назвал «октавами». Но его опередил британский адвокат-математик Артур Кэли. Кэли использовал термин «октонионы».
К концу 19 века появилось много работ, посвященных более широким системам чисел, названных гиперкомплексными.
Использование кватернионов позволяет дать более простую форму поворота в трехмерном пространстве. Кватернион определяет непосредственно геометрические характеристики трехмерных вращений: ось вращения и угол поворота.
При описании вращения при помощи матриц для определения оси вращения и угла поворота требуется проделать некоторые вычисления, а при использовании кватерниона он находится естественным образом.
Обозначим R(ν,φ) поворот вокруг оси сонаправленной с единичным вектором ν на угол φ.
Тогда поворот представляется кватенионом cos φ/2+ νsin φ/2.
Действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы имеют соответственно размерности 1, 2, 4, 8. В этих системах возможно деление, поскольку оно не выводит за пределы конкретной системы. Наоборот, при делении целого числа на целое число не всегда получаем целое число.
Кроме того, числа указанных систем имеют «норму», аналог квадрата расстояния. Поэтому данные числовые системы называют «нормированные алгебры с делением».
В 1925 году Юджин Вигнер пытался сделать октонионы основой квантовой механики, но потерпел неудачу. Октонионы оказались весьма подходящим инструментом в теориях Великого Объединения, которые пытаются свести воедино крупномасштабную геометрию теории Эйнштейна с квантовой неопределенностью теории Бора.
Фаворитом этих исследований является теория струн. Элементарные частицы рассматриваются как особые петли энергии, которые разнообразно вибрируют и порождают весь набор квантовых чисел, которые характеризуют природу частиц. Однако все это работает, если струны являются многомерными, если их поверхность выпадает из четырехмерного пространства-времени.
В 1962 году зарядовые мультиплеты было предложено организовать в супермультиплеты, раскрывающие отношения между частицами, которые отличаются не только зарядом, но и другими свойствами. Эта идея и привела к гипотезе кварков.
Группировка адронов в супермультиплеты включает восемь квантовых чисел и была названа «восьмеричным путем». Математической основой «восьмеричного пути» является раздел теории групп, разработанный в 19 веке норвежским математиком Софусом Ли.
Идея о том, что нейтрон и протон надо трактовать как два зарядовых состояния нуклона, была впервые высказана В. Гейзенбергом в 1932 году. Математическое выражение этой идеи было дано Юджином Вигнером (1902-1995). Точно так же, как Гейзенберг, пренебрегая незначительной разницей масс нейтрона и протона, предложил считать ее двумя состояниями одной частицы со спином ½, восемь известных барионов можно рассматривать как восемь состояний одной и той же частицы, хотя разница масс здесь уже не 0,15%, а 15%. Восемь барионов и восемь мезонов были сгруппированы в два октета. Вигнер первым предположил, что члены октета связаны между собой какой-то приближенной симметрией. Вопрос состоял в том, что это за симметрия.
Идея симметрии, свойство некоторого объекта не меняться при определнных перемещениях, стала центральной в квантовой физике. Октонионы дают математический аппарат для описания подобной симметрии.