История нуля
Содержание
Б. Рассел "Лекции 1935 года": "Чтобы создать здоровую философию, нужно отресья от метафизики, но быть хорошим математиком". Лорд Кельвин: "Математика есть просто хорошая метафизика". Арнольд Уайтхед: "Имеется надежное для применения правило: когда математик или философствующий автор пишет с туманной утонченностью, он говорит бессмыслицу." Французский математик, Александр Гротендик отмечает 3 аспекта вселенной, которые являются предметом математического исследования: число, размер, форма. Соответственно, выделяют 3 аспекта: арифметический, ..., и геометрический. Число позволяет уловить структуру дискретных систем. А размер есть свойство, поддающееся непрерывному изменению. Соответственно, арифметика есть наука о дискретных структурах, а математический анализ -- о непрерывных структурах. 2 системы счисления: "прбавительная", "аддитивная" -- от римлян. Когда числа записываются как римские числа. Эта система неудобна тем что заставляет придумывать новые знаки для разного количества десятков (C, M, ...). Есть также позицонная система счисления -- например, 126. Значение цифры определяется ее положением в числе. В принципе, основанием для системы счисления, может быть любое число. Паскаль осознал этот факт. Для нас наиболее естественна 5-ричная, 10-ричная и 20-ричная система. Это естественно (по пальцам рук). Однако, еще есть счет дюжинами, которая восходит к 60-ричной системе и является для нас привычной (1 час == 60 минут). Она позволяет выражать дроби 1/2, 1/3, 1/4 в виде целых чисел. 60 -- особое число, оно нацело делится на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. С позиционной системой счисления связано также изобретение нуля, которое было осуществлено индийскими математиками. Нуль используется в двух значениях: как индикатор пустого места, во-вторых как число само по себе. Само слово zero восходит скорее всего к древнееврейскому слову sifr, отсюда -- наше слово "цифра". В аддитивной системе сохраняется реликт 5-ричной системы исчисления (V == ладошка). В Дании до недавнего времени сохранялась 20-ричная система счисления. Введение нуля интуитивно непонятно. Ноль как индикатор пустого места возникает в вавилонской математике. Однако греки не приняли этого, поскольку греческая математика была основана на достижениях геометрии. Греческим математикам не было нужды называть числа, поскольку они работали с длинами отрезков. Числа, требующие названия, были уделом купцов, а не математиков. Поэтому не требовали строгой теории. Однако иная ситуация сложилась в астрономии. Впервые появляется значок для обозначения пустоты (греческая буква омикрон и первая буква в слове oueden, ничто.) Однако известный историк науки Нейгебауэр не согласен с этим, он указвает, что греки использвали слово омикрон для записи числа 70, поскольку греческая числовая система была основана на алфавите. По другим версиям, знак нуля возник от названия мелкой греческой монеты абола. 3 медных абола платили гребцу в день на корабле. Около 30г н.э. появляется основной труд Клавдия Птолемея "Синтаксис". Однако этот труд известен нам по арабскому названию "Альмагест". Птолемей использовал вавилонскую 60-ричную систему, где на пустом месте и ставил знак нуля. Кажется, что такая форма записи уже утвердилась. Однако только некоторые астрономы использовали это обозначение как знак пункутации. Однако ноль как число начинает использоваться в Индии около 650-го года н.э.. Есть доказательства, что использование нуля как индикатора пустого разряда начинается с 3-го века. Однако около 500-го года н.э. индийский математик Ареобхата разработал известную нам позиционную систему, но еще без знака нуля. Затруднение с нулем было осознано в том смысле, что это число не является естественным кандидатом в числа, ведь числа использовались при описании набора объектов. А ноль ничего не обозначает. Такое же затруднение возникает с описанием отрицательного числа. Лишь на определенном уровне абстракции удается корректно ввести отрицательные числа и ноль относительно арифметических операций. В 7-м веке попытку такого корректного введения предпринял математик Брахмагубта. Он отметил, что если из числа вычесть само число, то мы получаем ноль, однако, надо ввести правила операций с нулем. Правило сложения с нулем просты: сумма нуля и нуля равна нулю, сумма отрицательного числа и нуля -- отрицательное число, сумма положительного числа и нуля -- положительное число. Большие затруднения вызвали правила деления на ноль. Долгое время индийские математики полагали, что при делении на ноль число не меняется. Однако здесь возникает определенный парадокс. Если мы примем, что при делении любого числа на ноль получается бесконечность, то это значит, что при умножении ноля на бесконечность получается нечто, это значит, что числа равны. Вывод -- арифметика изначально выгоняет из себя бесконечность. Существовала еще одна цивилизация, создавшая позиционную систему с нулем -- это цивилизация майя. Наивысший расцвет этой цивилизации приходится на период между 250-900годами н.э.. Известно, что майя пользовались 20-тичной системой счисления. Пользовались всего тремя символами: "." "--" "(значок раковины == 0, иногда 20)". Т.о. если в нашей системе значение разрядов увеличивается справа налево, то у майя числа записывались в виде вертикальной колонки. Например, 20-ть 20-к -- это 400.
Францискаский епископ Ланга оставил книгу "Сообщение о делах в Юкотане". Де Ланда указвал, что чисто 20-чная система использовалась купцами, особенно теми, кто производил расчет в бобах какао (отсюда точка==1). "Абак" -- вычислительное устройство, напоминающее шахматную доску. От "Абак" -- "банк", "банкрот" ("банкеротти"). Однако арифметические действия использовались при астрономических расчетах. Поскольку у майя был очень запутанный календарь, который был связан с непонятными для нас но важными для них событиями истории, в календарных вычислениях майя, как и египтяне пользовались понятием "нечеткий год" -- 360 дней, 18 20-к. Так и у Египтян 5 дней никуда не относились, только к египтян это 12 месяцев по 30 дней. Числа майя позникли для счета человеческой жизни внутри временных циклов. При этом 20 -- цикл человеческой жизни (20 -- юность, 40 -- зрелость, 60 -- старость). 360 -- цикл солнечного года. У майя самое раннее использование нуля в истории цивилизации. Однако это не оказало влияния на другие народы. Индийская математика оказала значительное влияние на арабскую цивилизацию. Аль Харезми (787-865) написал книгу "Об индийском счете". Благодаря ей, позиционная система счисления распространилась от Багдада до Испании. В 12-м веке книга Аль Харезми была переведена на латынь и получила название "Алгоритм". Само написание имени приписывается поэту Чёсеру -- Algharitmi. Все средневековые труды по математики начинались словами dixit algharitmi. С конца 15 века эта книга считается основным математическим трудом. Запись арабских цифр унифицируется блаогдаря книгопечатанию. Современную запись мы впервые встречаем в 1514 году на гравюре Дюрера "Меланхолия". Аль Харезми принадлежит еще одна работа -- "Краткая книга об исчислении аль-джабр и аль-мукабала". Аль-джабр -- алгебра, "восполнение", перенесение элементов из одной части уравнения с изменения знака. Аль-мукабала -- сокращение одинаковых элементов в обеих частях уравнения. Обе эти операции заложили основы алгебры. Здесь необходимо сказать и об Омаре Хаяме, который был не только великим поэтом, но и математиком своего времени. Аль-Харезми в основном систематизировал результаты, которые были известны до него. Омар Хаям сделал много нового. В частности, в ... году Хаям написал сочинение "О доказательстве задач Аль-джабр и Аль-мукабала". Хаям определил алгебру как науку об уравнениях, а также научное искусство, предмет которого составляют абсолютные числа и измеримые величины. Они являются неизвестными, но относятся к какой-то известной вещи, по которой и могут быть определены. Личная заслуга Хаяма состояла в том, что он разработал метод решения уравнений третей степени (кубических уравнений).
Достижение индийских математиков распространилось также и на китай. В 1247 (?) году китайский математик Чин Чиу Шао написал математический трактат в 9 частях, где использовал знак нуля. А в 1303 году, математик Жу Ши Джи написал книгу "Нефритовое зеркало 4-ч элементов". В этой книге также используется обозначение нуля. В европе большое значение для внедрения индийской математики имели труды итальянского математика Леонарда Пизанского (Фибоначчи). Слово Фибоначчи означает "сын Боначчи". Отец Фибоначчи был купцом в Северной Африке. Ему удалось определить сына в арабское учебное заведение. Благодаря этому, Леонардо получил хорошее математическое образование. Особенно большую роль сыграла книга "Liber abaci" -- книга абака. Особенное значение имеет 12-й раздел этой книги, который интересен с точки зрения перспектив математики. Наиболее известной является задача о размножении кроликов (ряд фибоначчи). Простое порождающее правило - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... В этой же книге Фибоначчи описал индийские симолы и ноль. При этом числа от 1 до 9 он называет числами, а ноль -- знаком. Семь старух идет в Рим, у каждой 7 хлебов, у каждого -- 7 ножей, каждый нож отрежет по 7 кусков хлеба.