Интуиционизм

В области этого направления обоснования математики работали в основном голландские ученые, Гейтинг (1908 - 1980) и Брауэр (1881 - 1966).

Теория множеств Кантора открыла дорогу для работы с бесконечностями. Математические объекты были признаны существующими независимо от человеческой деятельности. Возникла большая свобода в образовании математических понятий и оперирования ими. Отрезвление возникло после открытия парадоксов теории множеств. Возникла мысль, что нужно ограничить математические рассмотрения конструктивными рамками.

Новое направление возникло в Голландии в частности и потому, что голланды в научной области всегда подчеркивали свою особость. У них даже для обозначения математики свой термин -- ("висскунде"). Брауэр полагал, что предмет математики -- это умственное построение. Они осуществляются в креативной деятельнсоти идеализированного субъекта. Этот субъект имеет потенциально неограниченную память. Однако субъект опирается на первоначальную интуицию ясности и отчетливости, которая дает уверенность в корректности построений. Значит математика -- это часть внутренней жизни субъекта. А язык -- не очень надежное средство для передачи умственных построений другим. Актуальная бесконечность должна быть изгнана из математики. А единственный способ доказать существование -- значит предъявить потенциально выполнимое построение. Как оказалось, это ведет к отказу от закона исключенного третьего. Нет никакого общего построения для каждого математического суждения, которое бы доказало или опровергло эту конструкцию. Брауэр оказал на отказ от закона исключенного третьего в 1908 году. Это вызвало резкую эмоциональную реакцию Д. Гильберта. Стало ясно, что надо пересмотреть все разделы математики, начиная с мат. анализа. Это было равносильно отказу от всех достижений математики. Особую роль в научном становлении Гейтинга сыграл амстердамский профессор Герет Маннури (1867 - 1956). Благодаря ему в Голландии появилась своя школа оснований математики и математической логики, хотя сам Маннури был математиком-самоучкой. Сам Маннури создал философское учение под названием significa. Оно изучало язык как коммуникативный феномен. Брауэр тоже учился у Маннури. Их вгляды на ранние этапы функционирования математического языка были сходны. Однако следствия они выводили разные. Брауэр считал, что математика вообще не зависит от употребления языка. А Маннури называл математику одним из языков человечества. В 1927 гоуу Маннури выступил инициатором конкурсной работы по формализации интуиционистской математики. Гейтер справился с этой работой в 1928 году.

... 1 абзац пропущен

Мы также познаем возможность ... построения -- здесь корень понятия натурального числа. Классический математик на это ставит вопрос о том, не являются ли данные построения метафизическими. Да, отвечает интуиционист, если попытаться построить их теорию. Интуитивизм просто констатирует факт, что понятие сущности и последовательности ясны для каждого нормального человеческого существа. Даже для детей. В этом есть нечто сходное с проблематикой платоновского диалога "Театет". Классическая математика мыслит в терминах аксиом и выводов. Интуиционизм мыслит в терминах очевидности. Поэтому интуиционизм не принимает никаких аксиом. Все аксиомы Пеана могут быть усмотрены чисто конструктивным путем, ведь логическая опреация "следовать за" -- это и есть способность построить любое натуральное число. Только начинать надо не с нуля, а с 1. Аксиому же полной индукции Гейтинг рассматривал как основную теорему о натуральных числах. Если взять любое натруальное число P и некоторое свойство E, которое верно для 1, то, пробегая расстояние от 1 до P, мы видим, что это свойство сохраняется на каждом шаге. Значит оно является верным для любого натурального числа P. Не возникает никаких затруднений при построении арифметики целых, натуральных и рациональных чисел. Однако немедленно возникает вопрос со стороны формализма, т.е. школы Гильберта. Это вопрос о том, что такое равенство и как оно вводится. Ведь обычно для этого привлекают понятия, взаимно-однозначного соответствия. С точки зрения интуиционизма, этого не требуется, если связать натуральные числа. С какими-нибудь материальными объектами, например с точками на бумагами или палочками. Однако процесс сравнения идет еще на доматематическом уровне. Математика начинается после того, как в сознании уже возникло понятие натурального числа и равенства между ними. Разделение математики и доматематики искусственно. Точно также нельзя, или можно только в теории расчленять любую человеческую мысль. Однако разделение необходимо методически развести для установления ... в подходах. Гейтинг отдавал себе отчет, что для простго человека, не-математика, его понятие натурального числа оказывается доовольно сложным. Здесь Гейтинг прибегает к философским аргументам. Ничто не постижимо само по себе. Любое понятие зависит от отношения его к другим понятиям. Натуральное число применимо в процессе счета и, накнец на арифметики натуральных чисел строится любой математический анализ. На этом этапе классические математики соглашаются с тем, что хотя они не принимают философию интцуиционизма, их устраивает понятие натурального числа. Интуиционизм строится на требовании конструктивности. Т.е. на указании потенциально возможного построения. Это приводит к новому пониманию отрицания. По мнению Гейтинга, не всегда легко отличить математическое рассуждение от констатации сегодняшнего состояния знания. Т.е. надо различать математическое отрицание и фактическое отрицание. Математическое отрицание передается выражениями: "Не возможно, чтобы", "Не может быть, что", "Ложно, что". Фактическое отрицание передается выражениями: "Мы не в праве утверждать, что", "Никто не знает, что". Гейтинг ввел критерий распознавания математического утверждения. Каждое математическое утверждение выражается в форме: "Я выполнил в уме построение A". Тогда математическое отрицание можно выразить в форме: "Я выполнил в уме такое построение, которое приводит к противоречию, предположение, что можно довести до конца построение A. Утверждение и отрицание выражаются здесь в одинаковой форме. Фактическое же отрицание первого утверждения гласит, что я не смог выполнить в уме построение A. Это просто констатация, которая не имеет формы математического утверждения. Гейтинг ввел также понятие числового генератора ("ЧГ"). ЧГ определеяется законом, который по любому натуральному числу дает полное предписание для вычисления любого члена последовательности. Числовой генератор никогда не задан в готовом виде. Он всегда находится в состоянии роста. В любой наперед заданный момент нам дана только конечная часть последовательности. Закон становления гарантирует нам возможность неограниченного продолжения последовательности. Правило ЧГ выполняется для натуральных, целых и рациональных чисел. Но Гейтингу требовалось ввести понятие континуума. Он определяет континуум как множество всех чилсовых генераторов. Если актуальная бесконечность недопустима в интуационистской математике, то надо использовать понятие потенциальной бесконечности. Здесь Гейтинг вводит понятие "бесконечно продолжающаяся последовательность" (БПП). Она понимается буквально. Это последовательность, которая может быть продолжена до бесконечности, независимо от того, каким правилом определяются члены этой последовательности. Немедленно возникают сомнения, исходящие от школы Гильберта. Сомнение это того рода, что в математику вводится понятие времени и элемент субъективности.

В математику вводится элемент времени и субъективности. Бесконечно продолжающаяся последовательность продолжнается именно во времени, а выбор зависит от акта воли выбирающего. Однако интуиционист замечает, что слово "выбор" -- это просто сокращенное обозначение, порожденное компонентой последовательности. Нет ничего личного и субъективного. Можно исключить субъективный и временной аспекты БПП, если договориться допускать только такие рассуждения, которые применимы к последовательности, независимой от того, какими окажутся еще не выбранные ее члены.

Брауэр ввел понятие "потока". В начале он использовал для обозначения этого слово немецкое слово "die Menge" -- множество, большое количество и куча. Чтобы отказаться от классических ассоциаций теории множеств он стал использовать анлийское слово spread и голландское spreiding. Для интуициониста существует два способа определения множества: общим спсобом порождения его элементов; посредством характерного свойства элементов.

Второй способ вводит понятие множества, которое Брауэр назвал "видами". Поток определяется правилом, задаающим ограничение на выборы. Недопустимая последовательность -- это та, в которой выбор делается абсолютно произвольно. Но в таких последовательностях нельзя установить связи элементов друг с другом. Кроме того, если такие последовательности не одинаковы полностью, то они никак между собой не связаны. В любой момент времени последовательность выбора состоит из конечного отрезка этой последовательности вместе с ограничениями на ее дальнейшее продолжение. Доказательство некоторого свойства должно быть проведено за конечное время. Поэтому оно зависит лишь от условий и ограничений на продолжение последовательностей. Этот факт называется "Принципом непрерывности Брауэра". Понятие континуума задается с помощью последовательности и выбора. Возражение школы Гильберта состояло в том, что надо провести различия между математикой и мета-математикой, а для этого нужна строгая формализация математики. Интуиционизм с этим соглашался и в лице Гейтенга даже построил варианты формализации интуиционистской математики. Однако Гейтинг указывал, что возможности мышления нельзя свести к конечному числу заранее построенных правил. Гейтинг не был чужд аксиоматике, что означало признание выдающихся заслуг Гильберта. Хотя Брауэр пострадал от гонений Гильберта он не возражал против работ Гейтинга, поскольку ценил талант своего ученика. Некторое примирение между основными школами основания математики наметилось в сентябре 1930 года. В Кенигсберге состоялся международный математический симпозиум. Позицию логицистов там представлял сам Рудльф Карнап. Школу Гильберта представлял фон Нейман. Интуиционизм -- Гейтинг. Предполагалась даже совместная книга Гейтинга в К. Геделем по основаниям математики. Однако Гедель затянул работу а потом вообще эммигрировал. Особое значение имели работы Гейтинга по трактовке логических операторов. Математические высказывания выражают собой проблемы, точнее намерения решить некоторые проблемы. Математическое утверждение A считается осмысленным, если мы в состоянии объяснить что значит доказать это утверждение. Это предполагает нашу способность уверенно опознавать, является ли данная конструкция доказательством или нет. Логические операции объясняются с помощью отношения: P есть доказательство A. Осуществляется редукция к логическим составляющим A, которые имеют меньшую сложность. Основная цель -- привести все к самоочевидным высказываниям. Теперь Гейтинг означает основные операции? C & D. Нужно выстроить конструкцию, P есть доказательство C & D. P -- .... P является упорядоченной парой P1 и P2. P1 -- доказательство C и P2 -- доказательство D. Такая задача и называется составной. Особый интерес представляет трактовка импликации. Она выражается языковой конструкцией "Если A то B". Фактически, это аристотелевская деятельная причина. Трудноуловимая связь между A и B всегда доставляла сложности при ее точной логической реализации. По Гейтингу, доказать импликацию -- значит указать конструкцию, преобразующую каждое доказательство A в некотрое доказательство B. Это и означает, если A то B. Такая интерпретация распространяется очевидным образом и на случай отрицания. ~A -- есть импликация A к некоторому заведомо ложному суждению.

Почти одновременно, аналогичные результаты получил российский математик, академик Холмогоров. Колмогоров выскзал мысль, что интуицинистская логика вполне независима от любой философии. Логика Гейтинга кодифицирует математическую идеологию, связанную с решением составных задач. Сам Гейтинг назвал свою логику логикой знания и умения, в отличии от классической логики, которая является логичкой математического бытия. Сам Брауэр не стремился быть ясным в своих концепциях. Он исходил из принципа автономии математических построений по отношению к любому возможному языку. В этом плане, Гейтинг стал устами Брауэра и превратил интуицинизм в респектабельное научное направление. В истории науки, тандем Брауэра и Гейтинга сравнивают с библейским тандемом Моисея и Аарона. К тому же Гейтинг был более реалистичным мыслителем. В 1933 году Брауэр писал: "Для человеческого ума, снабженного неограниченной памятью, чистая математика, практикуемая в одиночестве, была была бы точной. Однако такая точность утрачивается в математическом общении человеческих существ с неограниченной памятью. Они вынуждены прибегать к языку как к средству взаимопонимания." На это Гейтинг ответил, что интуиционист ищет строгости не в языке, а в математической мысли самой по себе. Однако противоречит реальности утверждение, что математика состоит из индивидуальных мысленных конструкций. Для этого математики слишком сильно воздействуют друг на друга и понимают друг друга слишком хорошо. Речь идет об интерсубъективности математики. Она была бы невозможной в противном случае, как наука. Надо отдавать себе отчет в фикции или фиктивности образа математика как существа с совершенной памятью. Такой интеллект мог бы обходиться без поддержки языка. Однако в реальном математическом исследовании язык вовлекается с самого начала. Значит Гейтинг выделял 2 этапа математического творчества:

• Креативный. На этом этапе роль языка в математике менее значительна, чем в процессе общения между математиками.
• Коммуникативный

В 1960 году, Гейтинг афористично заметил: "Понятие интуитивной ясности в математики само не является интуитивно ясным." Самое характерное расхождение между Брауэром и Гейтингом касается так называемых "последовательностей", зависящих от решения проблем. Брауэр был склонен допустить последовательность математических объектов, развитие которых зависит от непредсказуемой творческой активности субъекта. Выбор очередного значения последовательности зависит от того, решил ли субъект к данному моменту некоторую математическую проблему. На логическом языке это звучит так: "Пусть P -- это некая нерешенная математическая проблема. Решить ее означает доказать или опровергнуть некоторые суждения P. Но здесь также надо ввести сознание математика, M. Это идеализированный математик, который лишен печальных сомнений относительно ограниченности ресурсов памяти и своего существования. Творческая активность математика наблюдается в дискретные моменты времени. Эта активность состоит в попытке решить проблему P. Убежденность, что человек способен решить любую правильно поставленную задачу горячо отстаивал Гильберт. Однако Брауэр отклонял такую метафизическую уверенность как источник математической истины. С точки зрения эпистемологии Браэуэра, математика протекает во внутренней активности творческого субъекта. Единственный статус существования математической истины -- это обнаружение ее субъекта. Принципиальная невозможно решения проблемы P означает, что в мире идеального сознания M эта проблема просто не существует. Значит выолняется утверждение ~P. Гейтинг придал метафизическим рассуждениям Брауэра рациональный смысл. Например, скорость света зависит от последовательности исторических событий. От деятельности творческих субъектов, измерящих эту скорость. В каждый момент времени мы имеем только последовательность апроксимаций, уточняющих значение скорости света. Сама же скорость света в целом, является принципиально незавершимым объектом. Интуиционистская математика имеет дело именно с такими незавершенными объектами. Кроме познания в философских работах Брауэра излагаются начала аксиологии, теории ценностей. Здесь позитивно оценивается гипотетическое глубочайшее сверх-сознание, которое играет роль желанной нирваны. Брауэр решительно подчеркивает термины "красота, мудрость и религия". В связи с этим цитирует фрагменты Бхагавадгиты. В 1905 году, Брауэр написал еритическую книгу под назаванием "Жизь, красота и мистицизм". Извинительно, что Брауэру было 24 года. Книга была отвергнута внутренней цензурой школы интуиционизма. Школа сочла, что книга дискредитирует интуиционизм. Книга не содержит математического материала, но только высказывания по основным мировоззренческим вопросам. Брауэр упорствовал, поэтому содержание книги можно восстановить по дальнейшим докладам. В 1948 году, Брауэр выступил на 10-м международном философском конгрессе в Амстердаме. Доклад назывался "Сознание, философия и математика". Этот доклад можно считать одним из програмных для интуиционизма. Брауэр вдруг указывает, что через глубочайшую сферу сознания можно добраться до высшего мира, с которым мы взаимодействуем и ищем взаимопонимание. Здесь обнаруживается поразительная и глубокая связь с идеями Гуссерля по поводу интерсубъективности. То что у Гуссерля и Брауэра оценивается как солипсизм, на деле оказывается "философией как если бы". Цель этого мысленного эксперимента -- показать несамодостаточность изолированного сознания. Это не должно удивлять, потому что и Гуссерль учился у Карла Веерштрасса. Веерштрассова строгость в математике считается идеальной. Но сам Гуссерль был склонен к идее интуитивной ясности в математических исследованиях. В докладе 48 года, Брауэр выдвинул свою концепцию идеального математика как мыслящего творящего субъекта. Этот математик опирается на метод интроспекции. В своей ранней книге, Брауэр размышлял о включенности науки и в частности математики в культуру. Здесь возникает вечная дилемма целей и средств. Тот, кто теряет интерес к всеобщему и выискивает в скорбном мире лишь средства, у того интеллект в силу страха и научной дрессировки способен создавать лишь копии. Но тогда теряется цель общего движения человечества. Брауэр подчеркивал, что народы шлифуют друг друга своими культурами. Именно в культуре заключается победа. Но не известно, что восторжествует, трусливые расчеты и изнеженность или героизм. Некоторые рассуждения Брауэра можно понять в контексте анло-бурской войны.

Категории/Лекция | Категории/Педагогика | Категории/4-2008