Доказательство

Доказательство -- это двойственный процесс. С одной стороны, в доказательстве есть логические ходы. Структура этих логических ходов так или иначе фиксируется в тексте. С другой стороны, доказательство, в котором логические ходы возникают и наделяются смыслом, они актуализируются. Доказательство отличается от обычного рассуждения тем, что оно финально, т.е. имеет начало и конец. Финальность доказательства очень трудно локализовать. Трудно понять, где находится конец доказательства. Как совпадает доказательство с тем, что мы понимаем или не понимаем. Процесс доказательства не совпадает с процессом воспроизводства его структуры. Можно понять доказательство еще до того как закончился текст. Однако воспроизводство структуры доказательства не гарантирует понимание его смысла. Доказательство обладает особой нестабильностью. При наличии определенной структуры, доказательство не всегда воспроизводимо. Потенциальные смысловые связи не всегда актуализируются у интерпретатора, например, в силу его некомпетентности. С другой стороны, доказательство -- это не просто воспроизведение смысла, а каждый раз заново производство его структуры. По словам Анри Пуанкаре, чтобы понять доказательства, нужно доказать это самому. При этом нет никакой уверенности, что каждый раз мы получаем доказательства того же самого. Доказательство -- это феномен, в котором не только воспроизводится определенная логика, но и неожиданно раскрываются неявно заданные структуры. Вдруг приходит в голову, что это могло бы быть сделано иначе. Это называется "мерцание смысла". Сам термин заимствовали (аббериуты?). Все что понято, может быть понято и иным образом. Мерцание присуще исполнению его интерпретатором. Для доказательства существенно наличие интерпретатора, его роль аналогична роли наблюдателя в физике. Интерпретатор является "свидетелем" данной структуры, как наблюдатель -- свидетелем протекания природного процесса. Доказательство всегда предполагает совершение выбора. Это так, а не иначе. При этом, ряд возможных миров доказательства приостанавливается. В самом широком смысле, математика -- онтология возможного. Можно определить событие как фиксацию происходящего. Событие есть то что создает оппозицию между фиксированным значением и происходящим. Событие всегда является удивительным и непредсказуемым. Непредсказуемость события означает не только наличие альтернативы, но и наличие немыслимой, в данный момент, возможности. Любой акт намеренного выбора представляет собой событие. Доказательство -- это последовательность событий. Понимание доказательства невозможно, если предшествующим соглашением не выработана какая-либо альтернатива. Если заранее считать, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов, то доказательство теоремы Пифагора бессмысленно. Здесь и доказывать нечего. Попытка доказать утверждение -- это всегда попытка раскрыть альтернативу, которая является отрицанием данного утверждения. На этом строится любое доказательство от противного. Проблемой является определение т.н. "точности". Вопрос в том, насолько точным является доказательство. Точность можно определить как самое детальное описание события, как минимальную объемлющую категорию данного события. Понятие точности возникает, если отказаться от отождествления познающего с предметом познания. Это весьма важный шаг, касающийся понятия истины. Истина как отождествление мысли с предметом познания заменяется точностью. Точность -- это погоня познания за своим предметом. По традиции, это называется "ухватыванием" предмета. Сам предмет определяется таким ухватывающим стремлением. Здесь феноменологически мы сворачиваем на кантовский путь. Со всей определенностью о точности в указанном смысле, впервые сказал Гуссерль в "идеях к чистой феноменологии". По Гуссерлю, образование понятия есть его адекватное приспособление к интуитивно постигаемой сущностью. Это и есть кантовский конструктивизм. Приспособление понятия означает конструирование понятия в героических попытках достижения и определения идеала. Познание есть последняя трагическая атака гвардии.

В философии много избыточного, как в любом культурном явлении. По большей части, философия нужна для формирования мировоззрения. Менее одного процента на успех. Единственное, что работает -- теория познания, которая замыкается на менеджмент. Философия состоит в умении найти и взять знание (управлении).

Говоря об адекватности, мы конструируем сам предмет дискуссии. Границы точности определяются критерием наличия результата или описания ситуации в целом. Портрет, даже не очень точный, остается портретом, поскольку он узнаваем. Программа же, например, если она не остановилась и не выдала результат, вообще не может быть признана работающей. Сфера естественного языка также предполагает ясность ситуации в целом. Если мы относимся к одному сообществу, говорим на одном языке, то всегда есть предпонимание. Есть неявное соглашение, о чем, собственно, пойдет речь. Разговор можно оборвать на любом шаге, но, при этом, нечто будет достигнуто: либо понимание, либо осознание проблемы. Не формализованное доказательство протекает по схеме разговора. Каждый этап такого доказательства должен быть понят, иначе его неинтересно слушать, а, значит, невозможно понять. Каждый осмысленный этап воспринимается слушателем как подсказка, как указание, направление рассуждения. В таком процессе возможна ситуация, когда слушатель догадывается, куда клонит рассказчик. И он может сам продложить процесс докозательства. Математическое доказательство, не дописанное до конца, не работает. Практически невозможно дописать формальный вывод, начатый кем-то другим, его можно только проверить. Лишь осознав часть доказательства, можно продолжить и завершить его. Решающий момент процесса доказательства почти вседа наступает до завершающих слов, "что и требовалось доказать". Точность понимания доказательства и точность формального доказательства имеют различную природу. Возникает классификация точности в зависимости от наличия целостностной картины деятельности на каждом ее этапе. Контексты по этому критерию разбиваются на целостные и частичные. Другая классификация учитывает, что полученный результат иногда допускает уточнение, а иногда нет. Существует доказанная теорема: "Есть конечное число платоновых тел". Платоновыми телами называют правильные многогранники. Можно уточнить, что их может быть всего пять.

Контексты, не поддающиеся уточнению, называются дискретными, а поддающиеся -- непрервными. Формализовать разницу между точным и не точны приближением не удается в общем случае. Каждая конкретная задача диктует свои взгляды на точность. Даже в рамках одной задачи, взгляды на точность изменяются с течением времени. Например, египетское приближение числа pi == 3 1/7. Точность формального доказательства дискретна и частична. Точность доказательств как деятельности должна быть решающей, т.е. выполнять поставленную задачу. Когда пытаются уточнить доказательство, то его ставят под сомнение. Единство прежднего полностью разрушается. ... который рождается методическим сомнением, приводит к появлению нового доказательства. Доказательство видоизмененной задачи будет другим доказательством. Однако видоизмененную задачу можно рассматривать как новый шаг к наиболее общей идеальной формулировке. Обобщение результата -- уточнение его сущностной природы. Математику можно рассматривать также как лингвистическую деятельность, осуществляемую с помощью искусственных языков. Здесь выявляются как достоинства, так и недостатки естественного языка и математических языков. Знаки естественного языка определяют ситуацию в целом в ее развитии. Диапазон гибкости такого знака весьма широк. Например, значение слова "вода" определяется контекстом. Все попытки однозначно выявить в нем единое семантическое ядро, как правило, закнанчиваются неудачей. Есть 2 подхода к знаку:

• Значение скрывает некую метаязыковую сущность, т.е. идею или универсалию.
• Значение -- это употребление. Спор о значении -- это многовековая дискуссия об универсалиях. Однако чтобы не ввязываться в нее, достаточно прагматически связать языковые элементы с контекстом. Этим мы привносим смысл в воспринимаемое значение. Если мы обретаем смысл в употреблении слов в зависимости от контекста, то, по сути, каждый знак естественного языка может быть истолкован как перформатив. Я не просто говорю, я совершаю некоторые действия с помощью знаков.

В искусственных языках, аналогом перформативов являются логические операции. Определения же конструктивно выявляют ситуацию. Любое утверждение высказывается исходя из определенных причин и целей. Причины и цели формируются под влиянием общего взгляда на ситуацию. Теорема называется основной для данной теории, если часто используется при доказательстве других теорем. Основная теорема арифметики гласит: "Каждое натуральное число, отличное от единицы, может быть единственным образом разложено на простые сомножители." В этой теореме есть фраза: "Рассмотрим минимальное число, обладающее двумя разными разложениями на простые множители". Это утверждение указывает на определенную философию доказательства. Конструируется потенциальное существование невозможного объекта. С точки зрения математической деятельности, это необходимо. В противном случае, доказательство теряет решающую силу, поскольку оно не указывает никаких альтернатив. Доказательство -- это событие решения поставленных задач или проблем. Постановка задачи -- это осознание исходной проблемы. Она начинается с заинтересованного непонимания. Если все понятно, или нам так кажется, то нам не на что обратить свою активность.

Непонимание всегда непредсказуемо. Это всегда событие для нас. Более того, если мы чего-то не понимали, а потом разобрались, становится непонятным, чего же мы тут не понимали. Человек видит мир исключительно через призму альтернатив, которые возникают на горизонте. Горизонт -- это тот временной предел, дальше которого соответствующий процесс не рассматривается. При доказательстве возможно различного рода ошибки. Ошибки первого рода -- это ошибки в выборе непонятного. Мы некорректно поставили задачу. Ничто не может гарантировать ее точную постановку. Вопрос также в том, на каком этапе задачу можно считать решенной. В принципе -- когда сила аргументов убедила нас настолько, когда мы готовы убеждать других. В процессе понимания постановка альтернативы и осознание ее невозможности -- это 2 непоследовательных шага. Так строится доказательство от противного, которое не укладывается в рамки обыденного понимания. Доказательство -- это разрешение задачи в пользу заведамо истинно альтернативы. Истинность одной из альтернатив может быть интуитивно ясной. В этом смысле, результат уже как-то ведет нас к себе. На этом построено глубокое личное убеждение большинства теоретиков, что результат где-то уже есть сам по себе.

Ошибки второго рода связаны с выделением неверных альтернатив. Это ошибки в наших познаниях.

Ошибки третьего рода -- это ошибки, когда мы чего-то не заметили. Вроде бы все верно, но что-то может требовать проверки. В силу финальности доказательства, соглашением принимается, что таких ошибок больше нет. Это останавливает доказательство как процесс. Тогда доказательство включается в корпус достигнутого знания и становится его фактом

Надо различать формальные и содержательные доказательства. Формальные доказательства -- это такой же математический объект, как, например, треугольник. Это конечная цепочка знаков, заранее фиксированного алфавита. Это слово в алфавите. Когда в математике говорят "знак", то имеют в виду смысловую, содержательную сторону. А когда имеют в виду графическое обозначение, то употребляют слово "буква". К числу букв относится и пробел между словами. Значит текст, в уточненном математическом смысле, можно рассматривать как слово. Таким словом является и формальное доказательство. Какие именно слова следует считать формальными доказательствами, становится предметом отедльного исследования. Если сделать еще один шаг в строгу общности, то можно снять требование, чтобы формлаьными доказательствами обладали только истинные утверждения. Таким образом, понятия формального доказательства и истины разводятся. Затем, отброшенное требование вводят в виде дополнительного свойства, которым формальное доказательство, вообще говоря, может и не обладать. Множество формальных доказательств называют семантически непротиворечивым, если всякое утверждение, обладающее формальным доказательством истинно. Определение множества формальных доказательств в определенной степени произвольно. С другой стороны, всякое разумное математическое определение, обычно претендует на то, чтобы соответствовать неким интуитивным представлениям, отражать их. Понятия формального доказательства отражает интуитивные представления о содержательном доказательстве. Понятие доказательства играет в математике центральную роль. Со времен греков, говорить "математика", значит говорить "доказательство". Этими словами работа Николя Бурбаки "Начала математики". Математике принадлежит математическая модель доказательства, формальное доказательство. Однако само понятие доказательства выходит за пределы этой науки. Оно относится к логике, лингвистике, психологии и, более всего, к юриспруденции. Значит, само понятие доказательства неформализуемо, не имеет точного определения. В принципе, доказательство и есть убедительное рассуждение, которое убедило нас. Восприняв доказательства, мы делаемся в известной степени агрессивными, мы готовы убеждать других. Если такой готовности нет, значит нет и понимания представленного рассуждения. Представления об убедительности рассуждения зависит, прежде всего, от критериев и идеалов данного научного сообщества, а также от культурно-исторических факторов. Однако с ростом сложности доказательства и их объема, теряется сама возможность наглядно убедиться одному человеку в его праведности. Понятие убедительности теряет свой индивидуальный оттенок и приобретает смысл коллективной убедительности. Это доказательство признано неким научным коллективом. В этом случае, коллектив выступает как система, единое целое. Значит доказательство все больше и больше становится достоянием третьего мира в смысл К. Поппера. Большие доказательства живут по свим собственным, макроскопическим законам.

Категории/Лекция | Категории/ФПКД | Категории/4-2008