Две пути математической истины

Единственный способ не утратить знание -- пускать его в дело.

Герман Вейль (1885-1955).

Вейль определил способ математического мышления. Во-первых это особая форма рассуждения с помощью которой математика проникает в окружающий мир и науки о нем. Во-вторых, это те формы рассуждения, которые испльзует сама математика. Самое важное, чему должен обучиться образованный человек -- умению мыслить в понятиях переменных и функций. В самом общем виде, функция отображает одно множество на другое. Понятие функции (отображения) -- одно из самых фундаментальных понятий математической теории. Существуют характерные черты любой математической процедуры:

1. Наличие переменных, допустимые значения которых принадлежат некоторой области. Эта область вполне обозрима, поскольку сами мы ее и строим
2. Изображение переменных с помощью знаков.
3. Наличие функций или априори построенных отображений значения одной переменной на область значения другой. При этом надо следить за тем, чтобы независимая переменная пробегала всю область своих допустимых значений. Это позволяет выявить контр-примеры, или предельные случаи.

Мах, выдающийся физик 20-го века дал рекомендацию начинающим исследователям. Сначала нужно сформулировать заключение на основании одного конкретного случая. Т.е. найти частное решение данной задачи. Затем нужно как можно шире модифицировать сопутствующие обстоятельства, но, при этом, как можно дольше оставаться при прежденм заключении. Нет другого способа, который с наименьшими умственными усилиями приводил бы к простейшему объяснению явлений природы. Большинство переменных являются непрерывными. Интуитивно непрерывность подразумевается в самом термине "переменная". Однако есть также дискретные переменные и наиболее важный пример -- это множество натуральных чисел. Вейль показал различие между классической метафизикой и математическим способом мышления. Аристотель начал мыслить в терминах субстанции и акциденции. Это описательная классификация. Она ориентирована на реально существующие объекты. Идея функции и переменной распространяется на все возможные объекты, что и определяет математику как онтологию возможного. По мнению Вейля, трудности в изучении математики сугубо лингвистические. Человеку нужно усвоить более прямой взгляд на вещи. Это и значит мыслить конкретно и наравленно. Слова обыденного языка обладают привычным значением лишь в строго опредлеленных обстоятельствах. Однако люди склонны нарушать границы языковых игр. Так возникает магия слов и догматическая вера в описание действительности. Математики стремятся преодалевать догаматическое сопротивление языка. Верно и обратное -- перенос абсолютно строгих математических понятий на социальную реальность приводит к поэзии понятий, мифологическому дискурсу. Хотя любое мышление бинарными оппозициями уже является цифровым. Поэтому в основе нашего сознания лежит миф -- т.е. дигитальная схема. Основной принцип математического мышления -- предельная конкретность (вторая натура математик. Вейль стремится проиллюстрировать это на примере тех шагов, которые предшествовали математическому анализу теории относительности. Слова, относящиеся ко времени -- прошлое, настоящее и будущее. Однако нужно найти то что лежит в их основе. Это причинная структура универсума. Образ возникает в виде двух световых конусов, направленных в будущее и прошлое. Настоящее расположено в точке здесь и теперь. Один световой конус -- активное будущее. Это те события, на которые мы способны сейчас повлиять. Пассивное прошлое -- это те события, которые влияют на нас. Стало быть, в основе любой математической теории лежит зрительный образ. Павел Флоренский, полагал, что такой образ есть всегда. Лично для Флоренского -- это был образ геологического среза, который определил восприятие им одновременности и последовательности. Можно называть это печальным очарованием вечности. Здесь пути метафизики и математики расходятся. Математика должна заменить интуитивную картину знаковыми конструкциями. Это и делает математический язык предельно эффективным. Множество натуральных чисел задается с помощью идеи потенциальной бесконечности. Последнего числа не существует, поскольку всегда можно прибавить единицу. Это простейший пример априорной обозримости области изменений. Однако здесь используются умозаключения на основе полной индукции. Для доказательства того, что каждое число обладает некоторым свойством, надо убедиться в правильности двух вещей:

• то что ноль обладает этим свойством
• если возьмем любое число, обладающее данным свойством, то и следующее за ним должно обладать этим же свойством. При этом, столкнувшись с очень большими числами как в теории, так и в практической жизни, человек теряется, испытывает шок сложности.

Впервые, в конце 19-го, начале 20-го веков исследователи столкнулись с параметрами нашего мира, которые показали очень большие числа вида (до 10^120). Это вызвало некоторую растерянность, поскольку ни одна математическая теория не имеет дело с такими числами в качестве своих решений. На это указывали Вейль, Дирак, Гейзенберг и другие.

Возраст вселенной в атомных единицах дает нам число 10^40. Если массу видимой вселенной пересчитать в массах протона, то получается число 10^80. Так называемые "большие числа" -- это эмпирические параметры нашего мира. Они отражают свойства вселенной в целом, свойства звезд и отношение между фундаментальными взаимодействиями. В начале 20-го века, только астрофизика имела действие с такими величинами. Остальная теоретическая физика установила согласованную терминологию кратных и дольных величин. В 30-е - 50-е годы интервал этих величин составлял промежуток от величины 10^{-12 (пико) до 10}12 (тера, от греч. "чудовищный"). 60-70-е годы диапазон был расширен, появилсь числа 10^{-18 (атто, от датского "аттон"), 10}-15 (фемто, от датского "фемтон", 15). 10^{15 (пета, пятая степень 1000). 10}18 (экса, 6 степень 1000). Нано (одна миллиардная метра). Один нано-метр в 100000 раз тоньше человеческого волоса. Всего в 10 раз больше радиуса атома водорода. Нано-область занимает промежуток от одного нано-метра до ста. Верхняя граница этой области соответствует большим интегральным схемам, характерный размер большинства вирусов -- 10нм. Один 1нм -- радиус спирали ДНК.

Теоретическая астрофизика столкнулась с гигантскими числами еще в начале 20-го века. Британские астрофизики Милн и Еддингтон ввели термин "большое число" и стали использовать мультипликативную систему обозначений. Например, триллион -- это миллион в квадрате, 10^{12. Септиллион -- это миллион в 7, т.е. 10}42. Сексилион -- миллион в шестой, хех.

Категории/Лекция | Категории/ФПКД | Категории/4-2007